## Fully symmetrical invalid patterns

Everything about Sudoku that doesn't fit in one of the other sections

### Re: Fully symmetrical invalid patterns

Hi Serg & coloin,
Serg wrote:It is not surprising that you didn't found subsets of Magic Pattern among F1-F27 patterns. Those subsets were filtered out (by "40 maximal patterns list") at earlier stages of my work. I started from 6016 ed fully symmetrical patterns and came to 16 "unknown" patterns list. The work is going to the end.
Serg
Thanks. I understand now how and why you came up with your 27F fully symmetric patterns.
When you are finished with your study, it would be nice to give, for each valid pattern, an example of a valid puzzle.

coloin wrote:Just to refer back to this thread Fully symmetrical puzzles
You may have seen this ...
it tried initially to do what you are doing , the numenclature is good i think
JPFpublished this
.....
from > 10 years ago !!!
Yes and we are all 10 years older
I am glad to know that now some of us are able to fully study a pattern in a couple of minutes/hours.

here, Serg wrote:Hi, JPF!
Your method is clear and straightforward, but I'd like to have mathematical calculated numbers for following reasons:
1. Neither program (tool) is guaranteed not to have bugs, so it is useful to have mathematically calculated results for proving program results.
2. ....
Well, it seems that the only technique curently used to check if a pattern is valid or not is to do it with computers and brute force.
but it's ok

JPF
JPF
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### Re: Fully symmetrical invalid patterns

Hi, JPF!
JPF wrote:When you are finished with your study, it would be nice to give, for each valid pattern, an example of a valid puzzle.

Yes, you are right - if someone says that a pattern has valid puzzles, he must demonstrate examples. But in this study a lot of patterns were determined as "valid", because there exist subset patterns with valid puzzle examples. So, I am planning to publish a list of such "irreducible" or "seed" valid patterns with examples. Other valid patterns will be supersets of these patterns. It would be more accurate to call these "irreducible" valid patterns as "symmetrically minimal", because they lose validity by removing any clue cells, provided that resulting pattern will remain fully symmetrical.
JPF wrote:
here, Serg wrote:Hi, JPF!
Your method is clear and straightforward, but I'd like to have mathematical calculated numbers for following reasons:
1. Neither program (tool) is guaranteed not to have bugs, so it is useful to have mathematically calculated results for proving program results.
2. ....
Well, it seems that the only technique curently used to check if a pattern is valid or not is to do it with computers and brute force.
but it's ok

Yes, we need mathematical foundations of such studies, but "brute force" search is unavoidable yet. It is interesting, that "classical" mathematics has very similar to sudoku area - Latin Squares. Mathematicians study them several hundred years, but know number of latin squares of given size up to 11 x 11 size only. They study also "critical sets" - sudoku valid puzzles analogue. For some kind of latin squares is known mathematically proved formula of "minimal critical sets cardinality". In sudoku world it would be "minimal number of clues in valid puzzle". For latin squares of odd size (for example, 9 x 9 latin squares) "minimal critical sets cardinality" (for "back circulant latin squares" only) is (n^2 - 1)/4. Back circulant latin square 9 x 9 has "minimal critical sets cardinality" 20. It is rather similar to sudoku "minimal number of clues in valid puzzle" - 17. Sudoku have more constraints than latin squares, so they need less clues to have unique solution.

Serg

[Edited. I corrected a typo in the formula.]
Serg
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### Re: Fully symmetrical invalid patterns

Here are all ED valid puzzles of F14:

Code: Select all
`...2.6.......1......7...8..6..1.2..9.2..3..1.1..4.5..7..4...2......8.......6.1......2.6.......1......7...8..6..1.2..9.2..3..1.1..4.5..7..5...2......8.......6.1...`

And of F19 (isomorphic to coloin's puzzles):
Code: Select all
`12.3.4.566.......7.........3..1.5..4.........8..2.6..1.........7.......845.6.1.2312.3.4.566.......7.........3..5.1..4.........8..6.2..1.........7.......845.1.6.23`
Last edited by Afmob on Sun Mar 12, 2017 12:21 pm, edited 1 time in total.
Afmob

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### Re: Fully symmetrical invalid patterns

Code: Select all
`+---+---+---+|15.|3.4|.26||9..|...|..7||...|...|...|+---+---+---+|3..|1.9|..5||...|...|...||6..|7.5|..1|+---+---+---+|...|...|...||7..|...|..9||52.|6.1|.43|+---+---+---+`

Code: Select all
`15.3.4.269.......7.........3..1.9..5.........6..7.5..1.........7.......952.6.1.4315.3.4.269.......7.........6..1.9..5.........3..7.5..1.........7.......952.6.1.43`

2 valid puzzles for F19
C
coloin

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### Re: Fully symmetrical invalid patterns

Hi, Afmob!
Fantastic results in searching through F12-F27 patterns! Especially it's surprising existance of 2 (only!) valid puzzles for F14 pattern!

I hope you corrected my typos in F15 pattern description. Clues r5c1 and r5c9 were absent in my post with "16 unknown patterns" (I've already corrected this post.) Those typos were evident - they prevented F15 pattern from being fully symmetrical.

Serg
Serg
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### Re: Fully symmetrical invalid patterns

Hi, coloin!
coloin wrote:
Code: Select all
`+---+---+---+|15.|3.4|.26||9..|...|..7||...|...|...|+---+---+---+|3..|1.9|..5||...|...|...||6..|7.5|..1|+---+---+---+|...|...|...||7..|...|..9||52.|6.1|.43|+---+---+---+`

Code: Select all
`15.3.4.269.......7.........3..1.9..5.........6..7.5..1.........7.......952.6.1.4315.3.4.269.......7.........6..1.9..5.........3..7.5..1.........7.......952.6.1.43`

2 valid puzzles for F19

Wonderful! The last element of the puzzle went in place.

Of course, we must crosscheck Afmob's exhaustive search results for patterns having no valid puzzles. It's sufficient to check patterns: F11, F13, F17, F18, F20, F21, F22, F23, F26, F27 (10 patterns in total). I am planning to crosscheck these patterns, but it will take me 3-4 weeks to do it. So, I begin to process all collected data not waiting for invalidity crosscheck for these 10 patterns.

Serg

[Edited. I corrected typos.]
Last edited by Serg on Sun Mar 12, 2017 4:28 pm, edited 1 time in total.
Serg
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### Re: Fully symmetrical invalid patterns

Here, 10 years ago, we had a fascinating debate with coloin about sex of angels and this puzzle:
Code: Select all
` 1 . . | . . . | . . 2 . 3 . | 1 . 4 | . 5 . . . . | . . . | . . .-------+-------+------- . 5 . | 6 . 3 | . 4 . . . . | . . . | . . . . 6 . | 4 . 7 | . 3 .-------+-------+------- . . . | . . . | . . . . 4 . | 3 . 5 | . 6 . 8 . . | . . . | . . 9      3 solutions.`

Adding an 8 in r1c2 makes the puzzle valid and therefore F19 also a valid pattern.
Edit: wrong statement ; the pattern with r1c2 is not a subset of F19
Congratulations to coloin for his quick findings!

JPF
Last edited by JPF on Sun Mar 12, 2017 5:25 pm, edited 2 times in total.
JPF
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### Re: Fully symmetrical invalid patterns

Computation has finished. You can see the results in this table and also here. Of course, the results should be verified for the patterns having no valid puzzles as Serg said.
Afmob

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### Re: Fully symmetrical invalid patterns

Hi, all!
Afmob has done huge amount of work very, very fast, and coloin accelerated the work by his finding, so the first result of this project can be published. These results are preliminary, because not all Afmob's results are crosschecked yet.

It is known, that there are 6016 essentially different fully symmetrical patterns. It turns out, that 5145 of them have valid puzzles and 871 patterns have no valid puzzles. (85.5 % valid patterns.) I think, similar ratio should be for arbitrary (not fully symmetrical) patterns.

Collections of essentially different fully symmetrical valid and invalid patternsare attached to this post. All patterns are shown in "fully symmetrical essential form" or simply "essential form". Below is cells ordering schema (15 cells have hexadecimal sequence numbers: 1,2,...,9,A,B,C,D,E,F).
Code: Select all
`A B C 1 2 . . . .. D E 3 4 . . . .. . F 5 6 . . . .. . . 7 8 . . . .. . . . 9 . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .`

Metric is 15-digit binary number (cell 1 is accounted as 2^14, cell F is accounted as 2^0 (1)). All isomorphic transformations preserving "full symmetry" are considered to maximize metric.

Here is distribution of valid patterns by number of clues.
Code: Select all
`Clues   Patterns   20         16   21         22   24         87   25         89   28        178   29        180   32        271   33        272   36        345   37        346   40        381   41        382   44        370   45        370   48        319   49        319   52        245   53        245   56        165   57        165   60         98   61         98   64         52   65         52   68         24   69         24   72         10   73         10   76          4   77          4   80          1   81          1`

It's not surprise, that valid fully symmetrical puzzles must have not less than 20 clues. This study proves it.
There are 16 ed 20-clue valid fully symmetrical patterns. It looks like 2 or 3 new patterns are found (I'll analyze it in details in some time). Here are all 20-clue valid fully symmetrical patterns in "essential form".
Code: Select all
`Patterns with 20 cluesPattern 1. . . . x . . . .. x x . . . x x .. x . . . . . x .. . . x . x . . .x . . . . . . . x. . . x . x . . .. x . . . . . x .. x x . . . x x .. . . . x . . . .Pattern 2. x . . x . . x .x . . . . . . . x. . x . . . x . .. . . x . x . . .x . . . . . . . x. . . x . x . . .. . x . . . x . .x . . . . . . . x. x . . x . . x .Pattern 3x . . . x . . . x. x . . . . . x .. . x . . . x . .. . . x . x . . .x . . . . . . . x. . . x . x . . .. . x . . . x . .. x . . . . . x .x . . . x . . . xPattern 4. . . x . x . . .. x . . . . . x .. . x . . . x . .x . . . x . . . x. . . x . x . . .x . . . x . . . x. . x . . . x . .. x . . . . . x .. . . x . x . . .Pattern 5. x . x . x . x .x . . . . . . . x. . . . . . . . .x . . . x . . . x. . . x . x . . .x . . . x . . . x. . . . . . . . .x . . . . . . . x. x . x . x . x .Pattern 6x . . x . x . . x. x . . . . . x .. . . . . . . . .x . . . x . . . x. . . x . x . . .x . . . x . . . x. . . . . . . . .. x . . . . . x .x . . x . x . . xPattern 7. . . x . x . . .. x . . . . . x .. . x . . . x . .x . . x . x . . x. . . . . . . . .x . . x . x . . x. . x . . . x . .. x . . . . . x .. . . x . x . . .Pattern 8. . . x . x . . .. . x . x . x . .. x . . . . . x .x . . . . . . . x. x . . . . . x .x . . . . . . . x. x . . . . . x .. . x . x . x . .. . . x . x . . .Pattern 9. . . x . x . . .. x . . x . . x .. . x . . . x . .x . . . . . . . x. x . . . . . x .x . . . . . . . x. . x . . . x . .. x . . x . . x .. . . x . x . . .Pattern 10. . x x . x x . .. . . . x . . . .x . . . . . . . xx . . . . . . . x. x . . . . . x .x . . . . . . . xx . . . . . . . x. . . . x . . . .. . x x . x x . .Pattern 11. x . x . x . x .x . . . x . . . x. . . . . . . . .x . . . . . . . x. x . . . . . x .x . . . . . . . x. . . . . . . . .x . . . x . . . x. x . x . x . x .Pattern 12x . . x . x . . x. . . . x . . . .. . x . . . x . .x . . . . . . . x. x . . . . . x .x . . . . . . . x. . x . . . x . .. . . . x . . . .x . . x . x . . xPattern 13x . . x . x . . x. x . . x . . x .. . . . . . . . .x . . . . . . . x. x . . . . . x .x . . . . . . . x. . . . . . . . .. x . . x . . x .x . . x . x . . xPattern 14. . . x . x . . .. . . . x . . . .. . x . . . x . .x . . . x . . . x. x . x . x . x .x . . . x . . . x. . x . . . x . .. . . . x . . . .. . . x . x . . .Pattern 15. . . x . x . . .. x . . x . . x .. . . . . . . . .x . . . x . . . x. x . x . x . x .x . . . x . . . x. . . . . . . . .. x . . x . . x .. . . x . x . . .Pattern 16. . . x x x . . .. . . . x . . . .. . x . . . x . .x . . . . . . . xx x . . . . . x xx . . . . . . . x. . x . . . x . .. . . . x . . . .. . . x x x . . .`

Here is distribution of invalid patterns by number of clues.
Code: Select all
`Clues   Patterns    0          1    1          1    4          4    5          4    8         10    9         10   12         24   13         24   16         52   17         52   20         82   21         76   24         78   25         76   28         68   29         66   32         52   33         51   36         35   37         34   40         21   41         20   44         10   45         10   48          4   49          4   52          1   53          1`

Here is invalid pattern with largest number of clues (53 clues):
Code: Select all
`x x x . x . x x xx x x . x . x x xx x x . x . x x x. . . . x . . . .x x x x x x x x x. . . . x . . . .x x x . x . x x xx x x . x . x x xx x x . x . x x x`

This is well known maximal pattern from "40 maximal patterns list".

I crosschecked numbers for valid and invalid patterns with JPF numbers, posted by coloin. Sums of valid and invalid patterns for given number of clues coincide with JPF numbers in all cases.

Continuation follows ...

Serg
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fullsym_patterns_invalid.zip
Fully symmetrical invalid patterns
fullsym_patterns_valid.zip
Fully symmetrical valid patterns
Serg
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### Re: Fully symmetrical invalid patterns

Great work !
For completeness, we could have the six 21-clue valid fully symmetrical patterns which don't have a 20 clue valid pattern by removing the central clue.
maybe Afmob can easily run through the 20- and the six 21-clue patterns with a puzzle count ...

F15plus1 = F13 - zero puzzles
F16plus1 = F12 - zero puzzles
F20plus1 = F14 - has 2 puzzles

The six are therefore - F17plus1,F18plus1,F20plus1,F21plus1,F26plus1,F27plus1 .... and they all have valid puzzles.

Code: Select all
`F17plus1           F18plus1           F20plus1           F21plus1           F26plus1          F27plus1     +---+---+---+      +---+---+---+      +---+---+---+      +---+---+---+      +---+---+---+     +---+---+---+|.1.|3.6|.4.|      |5..|3.1|..6|      |...|2.6|...|      |...|6.8|...|      |...|8.6|...|     |...|657|...||2..|...|..8|      |.8.|...|.4.|      |...|.1.|...|      |.3.|.1.|.7.|      |.4.|.9.|.3.|     |.4.|.2.|.3.||...|...|...|      |...|...|...|      |..7|...|8..|      |...|...|...|      |...|.5.|...|     |...|...|...|+---+---+---+      +---+---+---+      +---+---+---+      +---+---+---+      +---+---+---+     +---+---+---+|8..|1.2|..6|      |6..|8.5|..2|      |6..|1.2|..9|      |4..|1.9|..8|      |8..|...|..6|     |5..|...|..6||...|.3.|...|      |...|.1.|...|      |.2.|.3.|.1.|      |.2.|.3.|.9.|      |.12|.3.|45.|     |12.|.3.|.45||9..|4.5|..7|      |3..|2.6|..1|      |1..|4.5|..7|      |3..|4.5|..6|      |6..|...|..1|     |7..|...|..1|+---+---+---+      +---+---+---+      +---+---+---+      +---+---+---+      +---+---+---+     +---+---+---+|...|...|...|      |...|...|...|      |..4|...|2..|      |...|...|...|      |...|.4.|...|     |...|...|...||7..|...|..2|      |.7.|...|.9.|      |...|.8.|...|      |.9.|.7.|.2.|      |.3.|.2.|.9.|     |.3.|.8.|.9.||.5.|2.1|.3.|      |2..|6.3|..5|      |...|6.1|...|      |...|8.4|...|      |...|5.7|...|     |...|743|...|+---+---+---+      +---+---+---+      +---+---+---+      +---+---+---+      +---+---+---+     +---+---+---+`

Code: Select all
`F17plus1 has at least 57 puzzlesF18plus1 has at least 7 puzzlesF20plus1 has only 2 puzzlesF21plus1 has at least 212 puzzlesF26plus1 has at least 2222 puzzlesF27plus1 has at least 1893 puzzles`

updated
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coloin

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### Re: Fully symmetrical invalid patterns

Hi, people!
I should present a kind of proof that published above full lists of invalid and valid fully symmetrical patterns are correct.
The idea of proof:

1. I'll present "basic set" of invalid patterns (25 patterns in total), which are known to be invalid because an exhaustive search was done for it or it is a subset of another invalid pattern. Everyone will be able to check, that all fully symmetrical invalid patterns (871) are subsets of this "basic" invalid patterns.

2. I'll present "basic set" of valid patterns with examples of valid puzzles. Everyone will be able to check, that all fully symmetrical valid patterns (5145) are supersets of this "basic" valid patterns.

3. Then everyone will be able to check, that each essentially different fully symmetrical pattern (6016 patterns in total) is subset of an invalid pattern from "basic set" of invalid patterns (thus the pattern will be invalid) or is superset of a valid pattern from "basic set" of valid patterns (thus the pattern will be valid).

This is "basic set" of invalid patterns (strictly speaking they all are symmetrically maximal patterns).
Code: Select all
`        F1                    F2                    F3                    F4                    F5x . . . . . . . x     x x x . . . x x x     . x x . . . x x .     x x . . . . . x x     . . . x x x . . .. x . . . . . x .     x . . . . . . . x     x . . . . . . . x     x x . . . . . x x     . x . . . . . x .. . x . . . x . .     x . . . . . . . x     x . . . . . . . x     . . . . . . . . .     . . . . . . . . .. . . x x x . . .     . . . x . x . . .     . . . x x x . . .     . . . x x x . . .     x . . x x x . . x. . . x x x . . .     . . . . x . . . .     . . . x x x . . .     . . . x x x . . .     x . . x x x . . x. . . x x x . . .     . . . x . x . . .     . . . x x x . . .     . . . x x x . . .     x . . x x x . . x. . x . . . x . .     x . . . . . . . x     x . . . . . . . x     . . . . . . . . .     . . . . . . . . .. x . . . . . x .     x . . . . . . . x     x . . . . . . . x     x x . . . . . x x     . x . . . . . x .x . . . . . . . x     x x x . . . x x x     . x x . . . x x .     x x . . . . . x x     . . . x x x . . .        F6                    F7                    F8                    F11                   F12x x . . . . . x x     x . . . x . . . x     . . . . x . . . .     x . . . x . . . x     x x . . x . . x xx . . . . . . . x     . x . . x . . x .     . x . . . . . x .     . x . . x . . x .     x . . . . . . . x. . x . . . x . .     . . . . . . . . .     . . x . . . x . .     . . . . x . . . .     . . . . . . . . .. . . x . x . . .     . . . x x x . . .     . . . x x x . . .     . . . x . x . . .     . . . x . x . . .. . . . x . . . .     x x . x x x . x x     x . . x x x . . x     x x x . x . x x x     x . . . x . . . x. . . x . x . . .     . . . x x x . . .     . . . x x x . . .     . . . x . x . . .     . . . x . x . . .. . x . . . x . .     . . . . . . . . .     . . x . . . x . .     . . . . x . . . .     . . . . . . . . .x . . . . . . . x     . x . . x . . x .     . x . . . . . x .     . x . . x . . x .     x . . . . . . . xx x . . . . . x x     x . . . x . . . x     . . . . x . . . .     x . . . x . . . x     x x . . x . . x x        F13                   F17                   F18                   F20                   F21. x . . x . . x .     . x . x . x . x .     x . . x . x . . x     . . . x . x . . .     . . . x . x . . .x x . . . . . x x     x . . . . . . . x     . x . . . . . x .     . . . . x . . . .     . x . . x . . x .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . . x . . . x . .     . . . . . . . . .. . . x . x . . .     x . . x . x . . x     x . . x . x . . x     x . . x . x . . x     x . . x . x . . xx . . . x . . . x     . . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . x . . . . . x .     . x . . . . . x .. . . x . x . . .     x . . x . x . . x     x . . x . x . . x     x . . x . x . . x     x . . x . x . . x. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . . x . . . x . .     . . . . . . . . .x x . . . . . x x     x . . . . . . . x     . x . . . . . x .     . . . . x . . . .     . x . . x . . x .. x . . x . . x .     . x . x . x . x .     x . . x . x . . x     . . . x . x . . .     . . . x . x . . .        F22                   F23                   F26                   F27                   F28. . . x . x . . .     . . . x . x . . .     . . . x . x . . .     . . . x x x . . .     x . . x . x . . x. . . . x . . . .     . x . . x . . x .     . x . . x . . x .     . x . . x . . x .     . . . x . x . . .. . x . . . x . .     . . . . . . . . .     . . . . x . . . .     . . . . . . . . .     . . . x . x . . .x . . . . . . . x     x . . . . . . . x     x . . . . . . . x     x . . . . . . . x     x x x x x x x x x . x . . x . . x .     . x . . x . . x .     . x x . . . x x .     x x . . . . . x x     . . . x x x . . .x . . . . . . . x     x . . . . . . . x     x . . . . . . . x     x . . . . . . . x     x x x x x x x x x . . x . . . x . .     . . . . . . . . .     . . . . x . . . .     . . . . . . . . .     . . . x . x . . .. . . . x . . . .     . x . . x . . x .     . x . . x . . x .     . x . . x . . x .     . . . x . x . . .. . . x . x . . .     . . . x . x . . .     . . . x . x . . .     . . . x x x . . .     x . . x . x . . x        F29                   F30                   F31                   F32                   F33x . . x x x . . x     x x x . . . x x x     x x x x x x x x x     x x x . x . x x x     . . . x x x . . .. . . . x . . . .     x x x . . . x x x     x x x . . . x x x     x x x . x . x x x     . . . x x x . . .. . . . x . . . .     x x x . . . x x x     x x x . . . x x x     x x x . x . x x x     . . . x x x . . .x . . x x x . . x     . . . x . x . . .     x . . . . . . . x     . . . . x . . . .     x x x x x x x x xx x x x x x x x x     . . . . . . . . .     x . . . x . . . x     x x x x x x x x x     x x x x x x x x xx . . x x x . . x     . . . x . x . . .     x . . . . . . . x     . . . . x . . . .     x x x x x x x x x. . . . x . . . .     x x x . . . x x x     x x x . . . x x x     x x x . x . x x x     . . . x x x . . .. . . . x . . . .     x x x . . . x x x     x x x . . . x x x     x x x . x . x x x     . . . x x x . . .x . . x x x . . x     x x x . . . x x x     x x x x x x x x x     x x x . x . x x x     . . . x x x . . .`

Patterns F1-F8, F12, F28 have independent confirmation of their invalidity by two (or more) persons who have done exhaustive search for these patterns. Patterns F29-F33 comes from "40 patterns list" - F29, F30 and F33 are subsets of (invalid) patterns from that list, F31 and F32 are exactly patterns from that list. Patterns F11, F13, F17, F18, F20, F21, F22, F23, F26, F27 (10 patterns in total) have no valid puzzles according to Afmob's exhaustive search. It's necessary to have independent confirmation of this result. I hope I'll get such confirmation in several weeks.

One can make sure that all 871 invalid fully symmetrical patterns reported before are subsets of some patterns from this list.

First 20 patterns from this "basic set" of invalid patterns can be used for filtering out invalid patterns in addition to "40 patterns list" (we can say now about '60 patterns list").

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### Re: Fully symmetrical invalid patterns

Hi, all!
"Basic set" for fully symmetrical valid patterns consists of 49 patterns. All 5145 fully symmetrical valid patterns published above are supersets of some patterns from the list posted below. (Patterns from this list are symmetrically minimal, removal of several clues makes such patterns invalid, provided that resulting pattern remains fully symmetrical.)
Code: Select all
`Distribution of patterns by number of cluesClues   Patterns   20         16   21          6   24         23   25          2   28          2`

Here are all patterns from this list with examples of valid puzzles.
Hidden Text: Show
Code: Select all
`Patterns with 20 clues (16 patterns)Pattern F34           Old example (ab)      Original shape. . . . x . . . .     . . . . 1 . . . .     7 9 . . . . . 5 4. x x . . . x x .     . 7 9 . . . 5 4 .     5 . . . . . . . 7. x . . . . . x .     . 5 . . . . . 7 .     . . . . 1 . . . .. . . x . x . . .     . . . 1 . 2 . . .     . . . 1 . 2 . . .x . . . . . . . x     8 . . . . . . . 1     . . 8 . . . 1 . .. . . x . x . . .     . . . 5 . 7 . . .     . . . 5 . 7 . . .. x . . . . . x .     . 6 . . . . . 3 .     . . . . 9 . . . .. x x . . . x x .     . 2 4 . . . 7 9 .     6 . . . . . . . 3. . . . x . . . .     . . . . 9 . . . .     2 4 . . . . . 7 9Pattern F35           Old example (ab)      Original shape. x . . x . . x .     . 7 . . 5 . . 3 .     . . 7 . 5 . 3 . .x . . . . . . . x     8 . . . . . . . 9     . 6 . . . . . 5 .. . x . . . x . .     . . 6 . . . 5 . .     8 . . . . . . . 9. . . x . x . . .     . . . 8 . 5 . . .     . . . 8 . 5 . . .x . . . . . . . x     9 . . . . . . . 2     9 . . . . . . . 2. . . x . x . . .     . . . 4 . 3 . . .     . . . 4 . 3 . . .. . x . . . x . .     . . 2 . . . 4 . .     4 . . . . . . . 8x . . . . . . . x     4 . . . . . . . 8     . 2 . . . . . 4 .. x . . x . . x .     . 5 . . 3 . . 7 .     . . 5 . 3 . 7 . .Pattern F36           Old example (ab)      Original shapex . . . x . . . x     7 . . . 2 . . . 9     . 3 . . . . . 4 .. x . . . . . x .     . 6 . . . . . 3 .     6 . . . . . . . 3. . x . . . x . .     . . 3 . . . 4 . .     . . 7 . 2 . 9 . .. . . x . x . . .     . . . 3 . 8 . . .     . . . 3 . 8 . . .x . . . . . . . x     9 . . . . . . . 7     . . 9 . . . 7 . .. . . x . x . . .     . . . 5 . 6 . . .     . . . 5 . 6 . . .. . x . . . x . .     . . 9 . . . 7 . .     . . 2 . 1 . 4 . .. x . . . . . x .     . 5 . . . . . 6 .     5 . . . . . . . 6x . . . x . . . x     2 . . . 1 . . . 4     . 9 . . . . . 7 .Pattern F37           Old example (ab)      Original shape. . . x . x . . .     . . . 2 . 5 . . .     . . . 2 . 5 . . .. x . . . . . x .     . 7 . . . . . 4 .     . . 7 . . . 4 . .. . x . . . x . .     . . 9 . . . 3 . .     . 9 . . . . . 3 .x . . . x . . . x     2 . . . 7 . . . 1     2 . . . 7 . . . 1. . . x . x . . .     . . . 8 . 3 . . .     . . . 8 . 3 . . .x . . . x . . . x     1 . . . 9 . . . 5     1 . . . 9 . . . 5. . x . . . x . .     . . 4 . . . 8 . .     . 4 . . . . . 8 .. x . . . . . x .     . 8 . . . . . 5 .     . . 8 . . . 5 . .. . . x . x . . .     . . . 7 . 1 . . .     . . . 7 . 1 . . .Pattern F38           Old example (ab)      Original shape. x . x . x . x .     . 2 . 5 . 8 . 1 .     . . . . . . . . .x . . . . . . . x     7 . . . . . . . 9     . . 2 5 . 8 1 . .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . 7 . . . . . 9 .x . . . x . . . x     5 . . . 6 . . . 4     . 5 . . 6 . . 4 .. . . x . x . . .     . . . 3 . 2 . . .     . . . 3 . 2 . . .x . . . x . . . x     6 . . . 9 . . . 3     . 6 . . 9 . . 3 .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . 9 . . . . . 7 .x . . . . . . . x     9 . . . . . . . 7     . . 8 2 . 1 3 . .. x . x . x . x .     . 8 . 2 . 1 . 3 .     . . . . . . . . .Pattern F39           Old example (tarek)   Original shapex . . x . x . . x     3 . . 4 . 5 . . 7     3 . . 4 . 5 . . 7. x . . . . . x .     . 2 . . . . . 6 .     . . . . . . . . .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . . 2 . . . 6 . .x . . . x . . . x     5 . . . 1 . . . 9     5 . . . 1 . . . 9. . . x . x . . .     . . . 6 . 8 . . .     . . . 6 . 8 . . .x . . . x . . . x     9 . . . 7 . . . 4     9 . . . 7 . . . 4. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . . 3 . . . 2 . .. x . . . . . x .     . 3 . . . . . 2 .     . . . . . . . . .x . . x . x . . x     4 . . 9 . 7 . . 5     4 . . 9 . 7 . . 5Pattern F40           Old example (ab)      Original shape. . . x . x . . .     . . . 4 . 5 . . .     . . . 4 . 5 . . .. x . . . . . x .     . 9 . . . . . 8 .     . . 9 . . . 8 . .. . x . . . x . .     . . 7 . . . 4 . .     . 7 . . . . . 4 .x . . x . x . . x     3 . . 9 . 8 . . 6     3 . . 9 . 8 . . 6. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . . . . . . . . .x . . x . x . . x     8 . . 3 . 2 . . 5     8 . . 3 . 2 . . 5. . x . . . x . .     . . 5 . . . 9 . .     . 5 . . . . . 9 .. x . . . . . x .     . 7 . . . . . 4 .     . . 7 . . . 4 . .. . . x . x . . .     . . . 5 . 1 . . .     . . . 5 . 1 . . .Pattern F41           Old example (ab)      Original shape. . . x . x . . .     . . . 7 . 2 . . .     . . . 7 . 2 . . .. . x . x . x . .     . . 2 . 4 . 6 . .     . . 2 . 4 . 6 . .. x . . . . . x .     . 6 . . . . . 5 .     . 6 . . . . . 5 .x . . . . . . . x     4 . . . . . . . 9     4 . . . . . . . 9. x . . . . . x .     . 1 . . . . . 3 .     . 1 . . . . . 3 .x . . . . . . . x     3 . . . . . . . 7     3 . . . . . . . 7. x . . . . . x .     . 8 . . . . . 9 .     . 8 . . . . . 9 .. . x . x . x . .     . . 4 . 2 . 1 . .     . . 4 . 2 . 1 . .. . . x . x . . .     . . . 5 . 3 . . .     . . . 5 . 3 . . .Pattern F42           Old example (ab)      Original shape. . . x . x . . .     . . . 4 . 3 . . .     6 . . . . . . . 5. x . . x . . x .     . 5 . . 7 . . 1 .     . . . 4 . 3 . . .. . x . . . x . .     . . 6 . . . 5 . .     . . 5 . 7 . 1 . .x . . . . . . . x     2 . . . . . . . 7     . 2 . . . . . 7 .. x . . . . . x .     . 7 . . . . . 2 .     . . 7 . . . 2 . .x . . . . . . . x     8 . . . . . . . 3     . 8 . . . . . 3 .. . x . . . x . .     . . 4 . . . 3 . .     . . 6 . 2 . 5 . .. x . . x . . x .     . 6 . . 2 . . 5 .     . . . 7 . 8 . . .. . . x . x . . .     . . . 7 . 8 . . .     4 . . . . . . . 3Pattern F43           Old example (ab)      Original shape. . x x . x x . .     . . 6 1 . 3 5 . .     . . . . 6 . . . .. . . . x . . . .     . . . . 6 . . . .     . . 6 1 . 3 5 . .x . . . . . . . x     4 . . . . . . . 2     . 4 . . . . . 2 .x . . . . . . . x     2 . . . . . . . 9     . 2 . . . . . 9 .. x . . . . . x .     . 9 . . . . . 4 .     9 . . . . . . . 4x . . . . . . . x     3 . . . . . . . 8     . 3 . . . . . 8 .x . . . . . . . x     9 . . . . . . . 1     . 9 . . . . . 1 .. . . . x . . . .     . . . . 5 . . . .     . . 5 6 . 7 3 . .. . x x . x x . .     . . 5 6 . 7 3 . .     . . . . 5 . . . .Pattern F44           Old example (Ocean)   Original shape. x . x . x . x .     . 4 . 1 . 5 . 6 .     . . . . . . . . .x . . . x . . . x     1 . . . 2 . . . 3     . . 1 . 2 . 3 . .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . 4 . 1 . 5 . 6 .x . . . . . . . x     3 . . . . . . . 7     . . 3 . . . 7 . .. x . . . . . x .     . 8 . . . . . 4 .     . 8 . . . . . 4 .x . . . . . . . x     9 . . . . . . . 2     . . 9 . . . 2 . .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . 5 . 4 . 7 . 8 .x . . . x . . . x     2 . . . 1 . . . 9     . . 2 . 1 . 9 . .. x . x . x . x .     . 5 . 4 . 7 . 8 .     . . . . . . . . .Pattern F45           Old example (ab)      Original shapex . . x . x . . x     1 . . 7 . 2 . . 3     . . . . 3 . . . .. . . . x . . . .     . . . . 3 . . . .     . 9 . . . . . 5 .. . x . . . x . .     . . 9 . . . 5 . .     . . 1 7 . 2 3 . .x . . . . . . . x     3 . . . . . . . 2     . . 3 . . . 2 . .. x . . . . . x .     . 6 . . . . . 9 .     6 . . . . . . . 9x . . . . . . . x     4 . . . . . . . 7     . . 4 . . . 7 . .. . x . . . x . .     . . 2 . . . 3 . .     . . 7 8 . 4 1 . .. . . . x . . . .     . . . . 5 . . . .     . 2 . . . . . 3 .x . . x . x . . x     7 . . 8 . 4 . . 1     . . . . 5 . . . .Pattern F46           Old example (ab)      Original shapex . . x . x . . x     3 . . 9 . 8 . . 1     . . . . . . . . .. x . . x . . x .     . 2 . . 7 . . 8 .     . 3 . 9 . 8 . 1 .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . . 2 . 7 . 8 . .x . . . . . . . x     1 . . . . . . . 3     . 1 . . . . . 3 .. x . . . . . x .     . 5 . . . . . 7 .     . . 5 . . . 7 . .x . . . . . . . x     9 . . . . . . . 6     . 9 . . . . . 6 .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . . 7 . 5 . 2 . .. x . . x . . x .     . 7 . . 5 . . 2 .     . 6 . 1 . 7 . 9 .x . . x . x . . x     6 . . 1 . 7 . . 9     . . . . . . . . .Pattern F47           Old example (JPF)     Original shape. . . x . x . . .     . . . 6 . 7 . . .     . . . . 1 . . . .. . . . x . . . .     . . . . 1 . . . .     . . . 6 . 7 . . .. . x . . . x . .     . . 3 . . . 4 . .     . . 3 . . . 4 . .x . . . x . . . x     6 . . . 9 . . . 8     . 6 . . 9 . . 8 .. x . x . x . x .     . 7 . 8 . 2 . 1 .     7 . . 8 . 2 . . 1x . . . x . . . x     1 . . . 5 . . . 3     . 1 . . 5 . . 3 .. . x . . . x . .     . . 5 . . . 7 . .     . . 5 . . . 7 . .. . . . x . . . .     . . . . 2 . . . .     . . . 1 . 6 . . .. . . x . x . . .     . . . 1 . 6 . . .     . . . . 2 . . . .Pattern F48           Old example (Ocean)   Original shape. . . x . x . . .     . . . 1 . 2 . . .     . . . . . . . . .. x . . x . . x .     . 3 . . 4 . . 5 .     . . . 1 . 2 . . .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . . 3 . 4 . 5 . .x . . . x . . . x     2 . . . 6 . . . 7     . 2 . . 6 . . 7 .. x . x . x . x .     . 6 . 4 . 5 . 8 .     . . 6 4 . 5 8 . .x . . . x . . . x     7 . . . 8 . . . 9     . 7 . . 8 . . 9 .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . . 5 . 3 . 6 . .. x . . x . . x .     . 5 . . 3 . . 6 .     . . . 9 . 7 . . .. . . x . x . . .     . . . 9 . 7 . . .     . . . . . . . . .Pattern F49           Old example (Ocean)   Original shape. . . x x x . . .     . . . 2 3 4 . . .     . . . . 1 . . . .. . . . x . . . .     . . . . 1 . . . .     . . . 2 3 4 . . .. . x . . . x . .     . . 1 . . . 5 . .     . . 1 . . . 5 . .x . . . . . . . x     2 . . . . . . . 6     . 2 . . . . . 6 .x x . . . . . x x     3 6 . . . . . 4 2     6 3 . . . . . 2 4x . . . . . . . x     4 . . . . . . . 7     . 4 . . . . . 7 .. . x . . . x . .     . . 5 . . . 8 . .     . . 5 . . . 8 . .. . . . x . . . .     . . . . 4 . . . .     . . . 9 6 7 . . .. . . x x x . . .     . . . 9 6 7 . . .     . . . . 4 . . . .Patterns with 21 clues (6 patterns)Pattern F50           Old example (JPF)     Original shape. x . x . x . x .     . 8 . 6 . 3 . 9 .     . . 1 . . . 7 . .x . . . . . . . x     1 . . . . . . . 7     . . . . . . . . .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     8 . . 6 . 3 . . 9x . . x . x . . x     6 . . 7 . 9 . . 4     . . 6 7 . 9 4 . .. . . . x . . . .     . . . . 3 . . . .     . . . . 3 . . . .x . . x . x . . x     2 . . 5 . 8 . . 1     . . 2 5 . 8 1 . .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     3 . . 9 . 5 . . 7x . . . . . . . x     4 . . . . . . . 2     . . . . . . . . .. x . x . x . x .     . 3 . 9 . 5 . 7 .     . . 4 . . . 2 . .Pattern F51           Old example (JPF)     Original shapex . . x . x . . x     1 . . 5 . 9 . . 7     3 . . . . . . . 4. x . . . . . x .     . 3 . . . . . 4 .     . . . . . . . . .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . . 1 5 . 9 7 . .x . . x . x . . x     5 . . 3 . 1 . . 9     . . 5 3 . 1 9 . .. . . . x . . . .     . . . . 6 . . . .     . . . . 6 . . . .x . . x . x . . x     7 . . 9 . 2 . . 1     . . 7 9 . 2 1 . .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . . 9 1 . 5 8 . .. x . . . . . x .     . 8 . . . . . 3 .     . . . . . . . . .x . . x . x . . x     9 . . 1 . 5 . . 8     8 . . . . . . . 3Pattern F14           New example (Afmob). . . x . x . . .     . . . 2 . 6 . . .. . . . x . . . .     . . . . 1 . . . .. . x . . . x . .     . . 7 . . . 8 . .x . . x . x . . x     6 . . 1 . 2 . . 9. x . . x . . x .     . 2 . . 3 . . 1 .x . . x . x . . x     1 . . 4 . 5 . . 7. . x . . . x . .     . . 4 . . . 2 . .. . . . x . . . .     . . . . 8 . . . .. . . x . x . . .     . . . 6 . 1 . . .Pattern F52           Old example (ab)      Original shape. . . x . x . . .     . . . 5 . 1 . . .     . . . . . . . . .. x . . x . . x .     . 4 . . 6 . . 9 .     . 4 . . 6 . . 9 .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . . . 5 . 1 . . .x . . x . x . . x     5 . . 9 . 3 . . 8     . . 5 9 . 3 8 . .. x . . x . . x .     . 9 . . 4 . . 2 .     . 9 . . 4 . . 2 .x . . x . x . . x     1 . . 8 . 7 . . 5     . . 1 8 . 7 5 . .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . . . 7 . 8 . . .. x . . x . . x .     . 6 . . 9 . . 3 .     . 6 . . 9 . . 3 .. . . x . x . . .     . . . 7 . 8 . . .     . . . . . . . . .Pattern F53           Old example (JPF)     Original shape. . . x . x . . .     . . . 4 . 7 . . .     . . . . 1 . . . .. x . . x . . x .     . 9 . . 5 . . 3 .     . 9 . . 5 . . 3 .. . . . x . . . .     . . . . 1 . . . .     . . . 4 . 7 . . .x . . . . . . . x     8 . . . . . . . 4     . . 8 . . . 4 . .. x x . x . x x .     . 6 5 . 4 . 9 1 .     5 6 . . 4 . . 1 9x . . . . . . . x     7 . . . . . . . 8     . . 7 . . . 8 . .. . . . x . . . .     . . . . 7 . . . .     . . . 2 . 8 . . .. x . . x . . x .     . 1 . . 9 . . 6 .     . 1 . . 9 . . 6 .. . . x . x . . .     . . . 2 . 8 . . .     . . . . 7 . . . .Pattern F54           Old example (ab)      Original shape. . . x x x . . .     . . . 6 2 3 . . .     . . . . . . . . .. x . . x . . x .     . 5 . . 4 . . 8 .     . . . 6 2 3 . . .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . . 5 . 4 . 8 . .x . . . . . . . x     7 . . . . . . . 3     . 7 . . . . . 3 .x x . . x . . x x     8 9 . . 5 . . 7 4     . 8 9 . 5 . 7 4 .x . . . . . . . x     3 . . . . . . . 2     . 3 . . . . . 2 .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . . 6 . 8 . 9 . .. x . . x . . x .     . 6 . . 8 . . 9 .     . . . 4 7 2 . . .. . . x x x . . .     . . . 4 7 2 . . .     . . . . . . . . .Patterns with 24 clues (23 patterns)Pattern F55           New example (Serg)x x . . . . . x x     1 7 . . . . . 5 3x . . . . . . . x     5 . . . . . . . 6. . x . . . x . .     . . 2 . . . 8 . .. . . x x x . . .     . . . 1 2 3 . . .. . . x . x . . .     . . . 4 . 6 . . .. . . x x x . . .     . . . 7 8 9 . . .. . x . . . x . .     . . 8 . . . 9 . .x . . . . . . . x     6 . . . . . . . 5x x . . . . . x x     3 1 . . . . . 6 4Pattern F56           Old example (gsf)     Original shape. x . . x . . x .     . 3 . . 6 . . 7 .     . . 8 . . . 4 . .x . x . . . x . x     4 . 2 . . . 3 . 1     . . 3 . 6 . 7 . .. x . . . . . x .     . 8 . . . . . 4 .     2 4 . . . . . 1 3. . . x . x . . .     . . . 6 . 2 . . .     . . . 6 . 2 . . .x . . . . . . . x     8 . . . . . . . 9     . 8 . . . . . 9 .. . . x . x . . .     . . . 7 . 4 . . .     . . . 7 . 4 . . .. x . . . . . x .     . 4 . . . . . 3 .     7 9 . . . . . 5 6x . x . . . x . x     9 . 7 . . . 6 . 5     . . 1 . 2 . 9 . .. x . . x . . x .     . 1 . . 2 . . 9 .     . . 4 . . . 3 . .Pattern F57           New example (Serg). x x . x . x x .     . 2 9 . 5 . 4 1 .x . . . . . . . x     4 . . . . . . . 5x . . . . . . . x     6 . . . . . . . 9. . . x . x . . .     . . . 1 . 2 . . .x . . . . . . . x     9 . . . . . . . 4. . . x . x . . .     . . . 3 . 4 . . .x . . . . . . . x     3 . . . . . . . 6x . . . . . . . x     2 . . . . . . . 7. x x . x . x x .     . 8 7 . 6 . 2 9 .Pattern F58           Old example (Ocean)   Original shapex x . . x . . x x     5 6 . . 2 . . 4 1     . . . . . . . . .x x . . . . . x x     4 2 . . . . . 9 5     . 2 4 . . . 5 9 .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . 6 5 . 2 . 1 4 .. . . x . x . . .     . . . 7 . 3 . . .     . . . 7 . 3 . . .x . . . . . . . x     1 . . . . . . . 3     . . 1 . . . 3 . .. . . x . x . . .     . . . 1 . 8 . . .     . . . 1 . 8 . . .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . 8 2 . 5 . 9 1 .x x . . . . . x x     9 7 . . . . . 6 2     . 7 9 . . . 2 6 .x x . . x . . x x     2 8 . . 5 . . 1 9     . . . . . . . . .Pattern F59           New example (Serg). x . . x . . x .     . 2 . . 1 . . 5 .x x . . . . . x x     7 1 . . . . . 4 6. . . . . . . . .     . . . . . . . . .. . . x x x . . .     . . . 1 2 3 . . .x . . x . x . . x     9 . . 4 . 6 . . 7. . . x x x . . .     . . . 7 8 9 . . .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .x x . . . . . x x     6 4 . . . . . 1 8. x . . x . . x .     . 3 . . 9 . . 2 .Pattern F60           New example (Serg)x x . . x . . x x     1 7 . . 3 . . 2 8x . . . . . . . x     6 . . . . . . . 4. . . . . . . . .     . . . . . . . . .. . . x x x . . .     . . . 1 2 3 . . .x . . x . x . . x     3 . . 4 . 6 . . 9. . . x x x . . .     . . . 7 8 9 . . .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .x . . . . . . . x     9 . . . . . . . 6x x . . x . . x x     7 2 . . 1 . . 8 5Pattern F61           New example (Serg)x x . . x . . x x     3 7 . . 1 . . 8 9x . . . x . . . x     8 . . . 6 . . . 7. . . . . . . . .     . . . . . . . . .. . . x . x . . .     . . . 1 . 2 . . .x x . . . . . x x     5 9 . . . . . 3 2. . . x . x . . .     . . . 3 . 4 . . .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .x . . . x . . . x     7 . . . 2 . . . 8x x . . x . . x x     6 1 . . 7 . . 9 3Pattern F62           New example (Serg). . x . x . x . .     . . 2 . 4 . 8 . .. . . . x . . . .     . . . . 1 . . . .x . . . . . . . x     6 . . . . . . . 4. . . x x x . . .     . . . 1 2 3 . . .x x . x . x . x x     7 9 . 4 . 6 . 2 1. . . x x x . . .     . . . 7 8 9 . . .x . . . . . . . x     4 . . . . . . . 7. . . . x . . . .     . . . . 6 . . . .. . x . x . x . .     . . 5 . 3 . 2 . .Pattern F63           New example (Serg)x . . . x . . . x     6 . . . 1 . . . 3. . . . x . . . .     . . . . 9 . . . .. . x . . . x . .     . . 8 . . . 7 . .. . . x x x . . .     . . . 1 2 3 . . .x x . x . x . x x     1 3 . 4 . 6 . 7 8. . . x x x . . .     . . . 7 8 9 . . .. . x . . . x . .     . . 9 . . . 2 . .. . . . x . . . .     . . . . 6 . . . .x . . . x . . . x     4 . . . 3 . . . 1Pattern F64           Old example (Ocean)   Original shape. x . x . x . x .     . 1 . 2 . 3 . 4 .     . . 1 2 . 3 4 . .x . . . . . . . x     7 . . . . . . . 8     . 5 . . . . . 6 .. . x . . . x . .     . . 5 . . . 6 . .     7 . . . . . . . 8x . . x . x . . x     1 . . 5 . 8 . . 6     1 . . 5 . 8 . . 6. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . . . . . . . . .x . . x . x . . x     4 . . 3 . 2 . . 9     4 . . 3 . 2 . . 9. . x . . . x . .     . . 8 . . . 4 . .     2 . . . . . . . 7x . . . . . . . x     2 . . . . . . . 7     . 8 . . . . . 4 .. x . x . x . x .     . 3 . 1 . 6 . 9 .     . . 3 1 . 6 9 . .Pattern F65           Old example (Ocean)   Original shape. x . x . x . x .     . 9 . 5 . 1 . 3 .     . . . . . . . . .x x . . . . . x x     2 6 . . . . . 8 1     . 6 2 . . . 1 8 .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . 9 . 5 . 1 . 3 .x . . x . x . . x     7 . . 3 . 8 . . 2     . . 7 3 . 8 2 . .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . . . . . . . . .x . . x . x . . x     6 . . 4 . 7 . . 5     . . 6 4 . 7 5 . .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . 5 . 7 . 4 . 9 .x x . . . . . x x     3 2 . . . . . 6 8     . 2 3 . . . 8 6 .. x . x . x . x .     . 5 . 7 . 4 . 9 .     . . . . . . . . .Pattern F19           New example (coloin)x x . x . x . x x     1 5 . 3 . 4 . 2 6x . . . . . . . x     9 . . . . . . . 7. . . . . . . . .     . . . . . . . . .x . . x . x . . x     3 . . 1 . 9 . . 5. . . . . . . . .     . . . . . . . . .x . . x . x . . x     6 . . 7 . 5 . . 1. . . . . . . . .     . . . . . . . . .x . . . . . . . x     7 . . . . . . . 9x x . x . x . x x     5 2 . 6 . 1 . 4 3Pattern F66           Old example (Afmob)   Original shape. . . x . x . . .     . . . 2 . 3 . . .     . . . . 1 . . . .. x . . x . . x .     . 1 . . 4 . . 2 .     . . . 2 . 3 . . .. . . . x . . . .     . . . . 1 . . . .     . . 1 . 4 . 2 . .x . . x . x . . x     1 . . 3 . 2 . . 4     . 1 . 3 . 2 . 4 .. x x . . . x x .     . 5 2 . . . 7 6 .     2 . 5 . . . 6 . 7x . . x . x . . x     7 . . 8 . 5 . . 3     . 7 . 8 . 5 . 3 .. . . . x . . . .     . . . . 2 . . . .     . . 4 . 5 . 9 . .. x . . x . . x .     . 4 . . 5 . . 9 .     . . . 6 . 7 . . .. . . x . x . . .     . . . 6 . 7 . . .     . . . . 2 . . . .Pattern F67           Old example (JPF)     Original shape. . x x . x x . .     . . 3 2 . 7 4 . .     . . . 9 . 3 . . .. . . x . x . . .     . . . 9 . 3 . . .     . . 3 2 . 7 4 . .x . . . . . . . x     7 . . . . . . . 8     . 7 . . . . . 8 .x x . . . . . x x     8 7 . . . . . 4 3     7 8 . . . . . 3 4. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . . . . . . . . .x x . . . . . x x     4 6 . . . . . 1 5     6 4 . . . . . 5 1x . . . . . . . x     1 . . . . . . . 4     . 1 . . . . . 4 .. . . x . x . . .     . . . 8 . 9 . . .     . . 7 3 . 6 9 . .. . x x . x x . .     . . 7 3 . 6 9 . .     . . . 8 . 9 . . .Pattern F68           Old example (gsf)     Original shapex . . x . x . . x     4 . . 3 . 1 . . 5     2 . . . . . . . 9. . . x . x . . .     . . . 4 . 2 . . .     . . . 4 . 2 . . .. . x . . . x . .     . . 2 . . . 9 . .     . . 4 3 . 1 5 . .x x . . . . . x x     9 3 . . . . . 5 6     . 3 9 . . . 6 5 .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . . . . . . . . .x x . . . . . x x     6 7 . . . . . 2 3     . 7 6 . . . 3 2 .. . x . . . x . .     . . 1 . . . 8 . .     . . 7 9 . 6 1 . .. . . x . x . . .     . . . 5 . 3 . . .     . . . 5 . 3 . . .x . . x . x . . x     7 . . 9 . 6 . . 1     1 . . . . . . . 8Pattern F69           Old example (ab)      Original shapex . . x . x . . x     5 . . 9 . 6 . . 7     . . . . . . . . .. x . x . x . x .     . 9 . 8 . 5 . 6 .     . . 9 8 . 5 6 . .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . 5 . 9 . 6 . 7 .x x . . . . . x x     8 3 . . . . . 9 1     . 8 3 . . . 9 1 .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . . . . . . . . .x x . . . . . x x     6 1 . . . . . 8 4     . 6 1 . . . 8 4 .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . 7 . 1 . 4 . 6 .. x . x . x . x .     . 8 . 6 . 9 . 5 .     . . 8 6 . 9 5 . .x . . x . x . . x     7 . . 1 . 4 . . 6     . . . . . . . . .Pattern F70           New example (Serg). . . x . x . . .     . . . 1 . 2 . . .. . . x . x . . .     . . . 3 . 4 . . .. . x . x . x . .     . . 1 . 5 . 6 . .x x . . . . . x x     6 4 . . . . . 3 8. . x . . . x . .     . . 8 . . . 9 . .x x . . . . . x x     7 3 . . . . . 5 4. . x . x . x . .     . . 2 . 9 . 8 . .. . . x . x . . .     . . . 4 . 7 . . .. . . x . x . . .     . . . 8 . 1 . . .Pattern F71           Old example (ab)      Original shapex . . x . x . . x     1 . . 5 . 9 . . 7     . . . . 6 . . . .. . . x . x . . .     . . . 3 . 8 . . .     . . . 3 . 8 . . .. . . . x . . . .     . . . . 6 . . . .     . . 1 5 . 9 7 . .x x . . . . . x x     5 6 . . . . . 4 1     . 6 5 . . . 1 4 .. . x . . . x . .     . . 9 . . . 2 . .     9 . . . . . . . 2x x . . . . . x x     2 7 . . . . . 6 3     . 7 2 . . . 3 6 .. . . . x . . . .     . . . . 2 . . . .     . . 4 7 . 5 9 . .. . . x . x . . .     . . . 8 . 1 . . .     . . . 8 . 1 . . .x . . x . x . . x     4 . . 7 . 5 . . 9     . . . . 2 . . . .Pattern F72           Old example (Ocean)   Original shape. x . x x x . x .     . 3 . 1 8 9 . 7 .     . . . . . . . . .x . . . . . . . x     5 . . . . . . . 6     . . 3 1 8 9 7 . .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . 5 . . . . . 6 .x . . x . x . . x     7 . . 4 . 1 . . 5     . 7 . 4 . 1 . 5 .x . . . . . . . x     2 . . . . . . . 4     . 2 . . . . . 4 .x . . x . x . . x     6 . . 9 . 7 . . 3     . 6 . 9 . 7 . 3 .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . 3 . . . . . 1 .x . . . . . . . x     3 . . . . . . . 1     . . 9 6 5 2 8 . .. x . x x x . x .     . 9 . 6 5 2 . 8 .     . . . . . . . . .Pattern F73           Old example (JPF)     Original shapex . . x x x . . x     3 . . 4 5 6 . . 1     1 . . . . . . . 2. x . . . . . x .     . 1 . . . . . 2 .     . 3 . 4 5 6 . 1 .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . . . . . . . . .x . . x . x . . x     1 . . 7 . 2 . . 6     . 1 . 7 . 2 . 6 .x . . . . . . . x     2 . . . . . . . 4     . 2 . . . . . 4 .x . . x . x . . x     5 . . 6 . 8 . . 9     . 5 . 6 . 8 . 9 .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . . . . . . . . .. x . . . . . x .     . 6 . . . . . 1 .     . 4 . 3 2 7 . 5 .x . . x x x . . x     4 . . 3 2 7 . . 5     6 . . . . . . . 1Pattern F74           New example (Serg). . . x x x . . .     . . . 1 8 7 . . .. x . . x . . x .     . 2 . . 9 . . 7 .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .x . . x . x . . x     6 . . 4 . 8 . . 1x x . . . . . x x     4 7 . . . . . 3 5x . . x . x . . x     8 . . 3 . 1 . . 9. . . . . . . . .     . . . . . . . . .. x . . x . . x .     . 9 . . 3 . . 4 .. . . x x x . . .     . . . 8 6 2 . . .Pattern F75           Old example (Ocean)   Original shape. . . x x x . . .     . . . 4 5 7 . . .     . . . . . . . . .. x . x . x . x .     . 2 . 9 . 6 . 4 .     . . . 4 5 7 . . .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . . 2 9 . 6 4 . .x x . . . . . x x     9 6 . . . . . 1 2     . 9 6 . . . 1 2 .x . . . . . . . x     3 . . . . . . . 8     . 3 . . . . . 8 .x x . . . . . x x     5 4 . . . . . 7 9     . 5 4 . . . 7 9 .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .     . . 7 2 . 1 9 . .. x . x . x . x .     . 7 . 2 . 1 . 9 .     . . . 6 3 5 . . .. . . x x x . . .     . . . 6 3 5 . . .     . . . . . . . . .Pattern F76           New example (Serg)x . . x x x . . x     4 . . 1 2 3 . . 5. . . x . x . . .     . . . 4 . 5 . . .. . . . . . . . .     . . . . . . . . .x x . . . . . x x     5 6 . . . . . 2 9x . . . . . . . x     7 . . . . . . . 3x x . . . . . x x     2 8 . . . . . 4 1. . . . . . . . .     . . . . . . . . .. . . x . x . . .     . . . 8 . 7 . . .x . . x x x . . x     3 . . 2 1 9 . . 4Patterns with 25 clues (2 patterns)Pattern F77           New example (Serg)x x . . . . . x x     6 3 . . . . . 1 9x . x . . . x . x     7 . 9 . . . 3 . 2. x . . . . . x .     . 8 . . . . . 6 .. . . x . x . . .     . . . 9 . 7 . . .. . . . x . . . .     . . . . 8 . . . .. . . x . x . . .     . . . 6 . 5 . . .. x . . . . . x .     . 2 . . . . . 8 .x . x . . . x . x     4 . 3 . . . 7 . 6x x . . . . . x x     1 7 . . . . . 2 5Pattern F78           Old example (blue)    Original shapex x . . . . . x x     1 5 . . . . . 6 3     1 2 . . . . . . .x x . . . . . x x     6 3 . . . . . 8 2     4 5 . . . . . . .. . x . . . x . .     . . 7 . . . 5 . .     . . 9 . . . . . .. . . x . x . . .     . . . 1 . 2 . . .     . . . . 6 3 . 5 1. . . . x . . . .     . . . . 9 . . . .     . . . 5 . . 7 . .. . . x . x . . .     . . . 4 . 5 . . .     . . . . 8 2 . 3 6. . x . . . x . .     . . 9 . . . 3 . .     . . . 3 . . 9 . .x x . . . . . x x     8 1 . . . . . 2 6     . . . . 2 6 . 1 8x x . . . . . x x     7 4 . . . . . 9 1     . . . . 9 1 . 4 7Patterns with 28 clues (2 patterns)Pattern F79           New example (Serg)x x x . . . x x x     5 8 7 . . . 9 6 4x . . . . . . . x     9 . . . . . . . 8x . . . . . . . x     6 . . . . . . . 1. . . x x x . . .     . . . 6 3 4 . . .. . . x . x . . .     . . . 9 . 5 . . .. . . x x x . . .     . . . 8 7 2 . . .x . . . . . . . x     8 . . . . . . . 6x . . . . . . . x     1 . . . . . . . 2x x x . . . x x x     7 2 9 . . . 1 4 3Pattern F80           New example (Serg). x x x . x x x .     . 7 4 6 . 9 1 5 .x . . . . . . . x     1 . . . . . . . 6x . . . . . . . x     5 . . . . . . . 8x . . x . x . . x     6 . . 9 . 3 . . 1. . . . . . . . .     . . . . . . . . .x . . x . x . . x     4 . . 1 . 7 . . 3x . . . . . . . x     3 . . . . . . . 7x . . . . . . . x     9 . . . . . . . 4. x x x . x x x .     . 8 2 4 . 5 6 3 .Totally 49 patterns`

Here are examples of valid puzzles in the line form.
Code: Select all
`....1.....79...54..5.....7....1.2...8.......1...5.7....6.....3..24...79.....9....   #F34 ab.7..5..3.8.......9..6...5.....8.5...9.......2...4.3.....2...4..4.......8.5..3..7.   #F35 ab7...2...9.6.....3...3...4.....3.8...9.......7...5.6.....9...7...5.....6.2...1...4   #F36 ab...2.5....7.....4...9...3..2...7...1...8.3...1...9...5..4...8...8.....5....7.1...   #F37 ab.2.5.8.1.7.......9.........5...6...4...3.2...6...9...3.........9.......7.8.2.1.3.   #F38 ab3..4.5..7.2.....6..........5...1...9...6.8...9...7...4..........3.....2.4..9.7..5   #F39 tarek...4.5....9.....8...7...4..3..9.8..6.........8..3.2..5..5...9...7.....4....5.1...   #F40 ab...7.2.....2.4.6...6.....5.4.......9.1.....3.3.......7.8.....9...4.2.1.....5.3...   #F41 ab...4.3....5..7..1...6...5..2.......7.7.....2.8.......3..4...3...6..2..5....7.8...   #F42 ab..61.35......6....4.......22.......9.9.....4.3.......89.......1....5......56.73..   #F43 ab.4.1.5.6.1...2...3.........3.......7.8.....4.9.......2.........2...1...9.5.4.7.8.   #F44 Ocean1..7.2..3....3......9...5..3.......2.6.....9.4.......7..2...3......5....7..8.4..1   #F45 ab3..9.8..1.2..7..8..........1.......3.5.....7.9.......6..........7..5..2.6..1.7..9   #F46 ab...6.7.......1......3...4..6...9...8.7.8.2.1.1...5...3..5...7......2.......1.6...   #F47 JPF...1.2....3..4..5..........2...6...7.6.4.5.8.7...8...9..........5..3..6....9.7...   #F48 Ocean...234.......1......1...5..2.......636.....424.......7..5...8......4.......967...   #F49 Ocean.8.6.3.9.1.......7.........6..7.9..4....3....2..5.8..1.........4.......2.3.9.5.7.   #F50 JPF1..5.9..7.3.....4..........5..3.1..9....6....7..9.2..1..........8.....3.9..1.5..8   #F51 JPF...2.6.......1......7...8..6..1.2..9.2..3..1.1..4.5..7..4...2......8.......6.1...   #F14 Afmob...5.1....4..6..9..........5..9.3..8.9..4..2.1..8.7..5..........6..9..3....7.8...   #F52 ab...4.7....9..5..3.....1....8.......4.65.4.91.7.......8....7.....1..9..6....2.8...   #F53 JPF...623....5..4..8..........7.......389..5..743.......2..........6..8..9....472...   #F54 ab17.....535.......6..2...8.....123......4.6......789.....8...9..6.......531.....64   #F55 Serg.3..6..7.4.2...3.1.8.....4....6.2...8.......9...7.4....4.....3.9.7...6.5.1..2..9.   #F56 gsf.29.5.41.4.......56.......9...1.2...9.......4...3.4...3.......62.......7.87.6.29.   #F57 Serg56..2..4142.....95............7.3...1.......3...1.8............97.....6228..5..19   #F58 Ocean.2..1..5.71.....46............123...9..4.6..7...789............64.....18.3..9..2.   #F59 Serg17..3..286.......4............123...3..4.6..9...789............9.......672..1..85   #F60 Serg37..1..898...6...7............1.2...59.....32...3.4............7...2...861..7..93   #F61 Serg..2.4.8......1....6.......4...123...79.4.6.21...789...4.......7....6......5.3.2..   #F62 Serg6...1...3....9......8...7.....123...13.4.6.78...789.....9...2......6....4...3...1   #F63 Serg.1.2.3.4.7.......8..5...6..1..5.8..6.........4..3.2..9..8...4..2.......7.3.1.6.9.   #F64 Ocean.9.5.1.3.26.....81.........7..3.8..2.........6..4.7..5.........32.....68.5.7.4.9.   #F65 Ocean15.3.4.269.......7.........3..1.9..5.........6..7.5..1.........7.......952.6.1.43   #F19 coloin...2.3....1..4..2.....1....1..3.2..4.52...76.7..8.5..3....2.....4..5..9....6.7...   #F66 Afmob..32.74.....9.3...7.......887.....43.........46.....151.......4...8.9.....73.69..   #F67 JPF4..3.1..5...4.2.....2...9..93.....56.........67.....23..1...8.....5.3...7..9.6..1   #F68 gsf5..9.6..7.9.8.5.6..........83.....91.........61.....84..........8.6.9.5.7..1.4..6   #F69 ab...1.2......3.4.....1.5.6..64.....38..8...9..73.....54..2.9.8.....4.7......8.1...   #F70 Serg1..5.9..7...3.8.......6....56.....41..9...2..27.....63....2.......8.1...4..7.5..9   #F71 ab.3.189.7.5.......6.........7..4.1..52.......46..9.7..3.........3.......1.9.652.8.   #F72 Ocean3..456..1.1.....2..........1..7.2..62.......45..6.8..9..........6.....1.4..327..5   #F73 JPF...187....2..9..7..........6..4.8..147.....358..3.1..9..........9..3..4....862...   #F74 Serg...457....2.9.6.4..........96.....123.......854.....79..........7.2.1.9....635...   #F75 Ocean4..123..5...4.5............56.....297.......328.....41............8.7...3..219..4   #F76 Serg63.....197.9...3.2.8.....6....9.7.......8.......6.5....2.....8.4.3...7.617.....25   #F77 Serg15.....6363.....82..7...5.....1.2.......9.......4.5.....9...3..81.....2674.....91   #F78 blue587...9649.......86.......1...634......9.5......872...8.......61.......2729...143   #F79 Serg.746.915.1.......65.......86..9.3..1.........4..1.7..33.......79.......4.824.563.   #F80 Serg`

Serg

[Edited. Examples (old and new) for all 49 valid patterns are published.]
Last edited by Serg on Wed Mar 22, 2017 10:45 pm, edited 3 times in total.
Serg
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### Re: Fully symmetrical invalid patterns

I can confirm coloin's result regarding the six "plus1" patterns:
Code: Select all
`F17plus1:   57 ED valid puzzlesF18plus1:    7 ED valid puzzlesF20plus1:    2 ED valid puzzlesF21plus1:  212 ED valid puzzlesF26plus1: 2222 ED valid puzzlesF27plus1: 1893 ED valid puzzles`

Serg, regarding the next steps, I would say it is more important to verify the invalid patterns. I think the task of finding at least one valid puzzle for the minimal 49 valid patterns can (easily?) be done by others and it's easy to verify once a valid puzzle has been found.
Afmob

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### Re: Fully symmetrical invalid patterns

Hi!
Serg wrote:This is the next candidate invalid pattern with 5 clues in the central box.
Code: Select all
`       F11x . . . x . . . x. x . . x . . x .. . . . x . . . .. . . x . x . . .x x x . x . x x x. . . x . x . . .. . . . x . . . .. x . . x . . x .x . . . x . . . x`

I've done ehaustive search for this pattern - no valid puzzles. The search took 68 hours (not all automorphisms were used).

Serg
Serg
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### Re: Fully symmetrical invalid patterns

Hi, Afmob!
Afmob wrote:I can confirm coloin's result regarding the six "plus1" patterns:
Code: Select all
`F17plus1:   57 ED valid puzzlesF18plus1:    7 ED valid puzzlesF20plus1:    2 ED valid puzzlesF21plus1:  212 ED valid puzzlesF26plus1: 2222 ED valid puzzlesF27plus1: 1893 ED valid puzzles`

It's amazing, but these 6 patterns are exactly in the 49 valid patterns list (there are no other 21-clue patterns in that list).
Afmob, did you check found puzzles for minimality? It would be nice to see all found puzzles lists, at least for the first 4 patterns.
Afmob wrote:Serg, regarding the next steps, I would say it is more important to verify the invalid patterns. I think the task of finding at least one valid puzzle for the minimal 49 valid patterns can (easily?) be done by others and it's easy to verify once a valid puzzle has been found.

I agree with you and I am searching through remaining invalid patterns. But this search runs in the background mode, so I have spare time to prepare examples.

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