The New Sudoku Players' Forum

[m_b_metcalf]

Following some archaeological research, it is clear that at that time the algorithms were intended to produce canonical but not necessarily MC grids

I do not know the definition of "MC grid". Can you give it to me or give me a link in the forum where it is defined/discussed? The search function did not reveal anything to me.

Nor can I find a definition but, by inspection, it is clearly a minlex version of the canonical form (see also here).

[m_b_metcalf]

Now it's my riddle: Using your canonical grid can you explain how I generated this puzzle with only 834 clues? It is solvable with only singles and box-line interaction (and yet not minimal), so you should be able to verify it.

My best guess is that you removed clues in lock-step. For instance, if I remove 7 clues at a time, in adjacent columns (from the MC grid), when the row is in the first band, and processing from top to bottom, I get this, with 984 clues:

Code: Select all

  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  .  .  .  .  .  .  .  .  . 17 18 19 20 21 22 23  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  .  .  .  .  .  . 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 18 19 20 21
 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49  1  2  3  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
 43 44 45 46 47 48 49  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15  .  . 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  .  .  .  .  .  .  .  . 17 18 19 20 21 22 23  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  .  .  .  .  . 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 18 19 20 21 22
 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49  1  2  3  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
 44 45 46 47 48 49  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12  .  . 15  .  .  .  . 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43
  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  .  .  .  .  .  .  .  . 18 19 20 21 22 23 24  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  .  .  .  .  . 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 19 20 21 22 23
 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49  1  2  3  4  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37
 45 46 47 48 49  1  2  3  .  5  6  7  8  9 10 11 12 13  . 15  .  .  .  .  . 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  .  .  .  .  .  .  .  . 19 20 21 22 23 24 25  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  .  .  .  .  . 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 20 21 22 23 24
 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49  1  2  3  4  5  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
 46 47 48 49  1  2  3  4  .  .  .  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17  .  .  .  . 22 23 24 25 26  .  . 29 30 31 32 33  .  . 36 37 38 39 40  .  . 43 44 45
  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  .  .  .  .  .  .  .  . 20 21 22 23 24 25 26  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  .  .  .  .  . 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 21 22 23 24 25
 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49  1  2  3  4  5  6  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
 47 48 49  1  2  3  4  5  .  .  .  . 10 11 12 13 14 15 16 17 18  .  .  . 22  . 24 25 26 27  .  .  . 31 32 33 34  .  .  . 38 39 40 41  .  .  . 45 46
  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  .  .  .  .  .  .  .  . 21 22 23 24 25 26 27  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  .  .  .  .  . 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 22 23 24 25 26
 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
 41 42 43 44 45 46 47 48 49  1  2  3  4  5  6  7  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
 48 49  1  2  3  4  5  6  .  .  .  .  . 12 13 14 15 16 17 18 19  .  . 22 23  .  . 26 27 28  .  .  .  . 33 34 35  .  .  .  . 40 41 42  .  .  .  . 47
  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  .  .  .  .  .  .  .  . 22 23 24 25 26 27 28  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  .  .  .  .  . 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 23 24 25 26 27
 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49  1  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
 42 43 44 45 46 47 48 49  1  2  3  4  5  6  7  8  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41
 49  1  2  3  4  .  .  7  .  .  .  .  .  . 14 15 16 17 18 19 20  .  . 23 24  .  .  . 28 29  .  .  .  .  . 35 36  .  .  .  .  . 42 43  .  .  .  .  .

[hkociemba1]

It seems that your MC-grid is identical now to my default grid. I generated it with this code (works for all N, not only odd, but I do not know if it is identical with your definition for even N).

For the 49x49 we have DIM=49, DIM2=49*49, B_COL=B_COL=7 and rc_set is a onedimensional array which holds the resulting numbers.

Code: Select all

  SetLength(t1, DIM, DIM);
  SetLength(t2, DIM, DIM);
  for i := 0 to DIM - 1 do
    for j := 0 to DIM - 1 do
      t1[i, j] := (i + j) mod DIM;

  for k := 0 to B_COL - 1 do
    for i := 0 to B_ROW - 1 do
      for j := 0 to DIM - 1 do
        t2[i + B_ROW * k, j] := t1[B_COL * i + k, j];

  for i := 0 to DIM2 - 1 do
    rc_set[i] := t2[i div DIM, i mod DIM] + 1;

Meanwhile I found this simple to solve grid (only singles) with 756 givens. I still do not know why this works so good...

Code: Select all

 +----------------------+----------------------+----------------------+----------------------+----------------------+----------------------+----------------------+
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  8  9 10 11 12 13 14 |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . | 22 23 24 25 26 27 28 | 15 16 17 18 19 20 21 |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . | 36 37 38 39 40 41 42 | 29 30 31 32 33 34 35 | 22 23 24 25 26 27 28 |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  1  2  3  4  5  6  7 | 43 44 45 46 47 48 49 | 36 37 38 39 40 41 42 |  .  .  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . | 15 16 17 18 19 20 21 |  8  9 10 11 12 13 14 |  1  2  3  4  5  6  7 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  .  .  .  . | 29 30 31 32 33 34 35 | 22 23 24 25 26 27 28 | 15 16 17 18 19 20 21 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |
 +----------------------+----------------------+----------------------+----------------------+----------------------+----------------------+----------------------+
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  9 10 11 12 13 14 15 |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . | 23 24 25 26 27 28 29 | 16 17 18 19 20 21 22 |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . | 37 38 39 40 41 42 43 | 30 31 32 33 34 35 36 | 23 24 25 26 27 28 29 |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  2  3  4  5  6  7  8 | 44 45 46 47 48 49  1 | 37 38 39 40 41 42 43 |  .  .  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . | 16 17 18 19 20 21 22 |  9 10 11 12 13 14 15 |  2  3  4  5  6  7  8 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  .  .  . 43 | 30 31 32 33 34 35 36 | 23 24 25 26 27 28 29 | 16 17 18 19 20 21 22 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |
 +----------------------+----------------------+----------------------+----------------------+----------------------+----------------------+----------------------+
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . | 10 11 12 13 14 15 16 |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . | 24 25 26 27 28 29 30 | 17 18 19 20 21 22 23 |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . | 38 39 40 41 42 43 44 | 31 32 33 34 35 36 37 | 24 25 26 27 28 29 30 |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  3  4  5  6  7  8  9 | 45 46 47 48 49  1  2 | 38 39 40 41 42 43 44 |  .  .  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . | 17 18 19 20 21 22 23 | 10 11 12 13 14 15 16 |  3  4  5  6  7  8  9 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  .  . 43 44 | 31 32 33 34 35 36 37 | 24 25 26 27 28 29 30 | 17 18 19 20 21 22 23 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |
 +----------------------+----------------------+----------------------+----------------------+----------------------+----------------------+----------------------+
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . | 11 12 13 14 15 16 17 |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . | 25 26 27 28 29 30 31 | 18 19 20 21 22 23 24 |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . | 39 40 41 42 43 44 45 | 32 33 34 35 36 37 38 | 25 26 27 28 29 30 31 |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  4  5  6  7  8  9 10 | 46 47 48 49  1  2  3 | 39 40 41 42 43 44 45 |  .  .  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . | 18 19 20 21 22 23 24 | 11 12 13 14 15 16 17 |  4  5  6  7  8  9 10 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  . 43 44 45 | 32 33 34 35 36 37 38 | 25 26 27 28 29 30 31 | 18 19 20 21 22 23 24 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |
 +----------------------+----------------------+----------------------+----------------------+----------------------+----------------------+----------------------+
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . | 12 13 14 15 16 17 18 |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . | 26 27 28 29 30 31 32 | 19 20 21 22 23 24 25 |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . | 40 41 42 43 44 45 46 | 33 34 35 36 37 38 39 | 26 27 28 29 30 31 32 |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  5  6  7  8  9 10 11 | 47 48 49  1  2  3  4 | 40 41 42 43 44 45 46 |  .  .  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . | 19 20 21 22 23 24 25 | 12 13 14 15 16 17 18 |  5  6  7  8  9 10 11 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |
 |  .  .  . 43 44 45 46 | 33 34 35 36 37 38 39 | 26 27 28 29 30 31 32 | 19 20 21 22 23 24 25 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |
 +----------------------+----------------------+----------------------+----------------------+----------------------+----------------------+----------------------+
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . | 13 14 15 16 17 18 19 |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . | 27 28 29 30 31 32 33 | 20 21 22 23 24 25 26 |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . | 41 42 43 44 45 46 47 | 34 35 36 37 38 39 40 | 27 28 29 30 31 32 33 |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  6  7  8  9 10 11 12 | 48 49  1  2  3  4  5 | 41 42 43 44 45 46 47 |  .  .  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . | 20 21 22 23 24 25 26 | 13 14 15 16 17 18 19 |  6  7  8  9 10 11 12 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |
 |  .  . 43 44 45 46 47 | 34 35 36 37 38 39 40 | 27 28 29 30 31 32 33 | 20 21 22 23 24 25 26 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |
 +----------------------+----------------------+----------------------+----------------------+----------------------+----------------------+----------------------+
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . | 14 15 16 17 18 19 20 |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . | 28 29 30 31 32 33 34 | 21 22 23 24 25 26 27 |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . | 42 43 44 45 46 47 48 | 35 36 37 38 39 40 41 | 28 29 30 31 32 33 34 |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  7  8  9 10 11 12 13 | 49  1  2  3  4  5  6 | 42 43 44 45 46 47 48 |  .  .  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . | 21 22 23 24 25 26 27 | 14 15 16 17 18 19 20 |  7  8  9 10 11 12 13 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |
 |  . 43 44 45 46 47 48 | 35 36 37 38 39 40 41 | 28 29 30 31 32 33 34 | 21 22 23 24 25 26 27 |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  .  . |
 +----------------------+----------------------+----------------------+----------------------+----------------------+----------------------+----------------------+


756 givens, 37969 candidates(pencilmarks).

[hkociemba1]

My best guess is that you removed clues in lock-step. For instance, if I remove 7 clues at a time, in adjacent columns (from the MC grid), when the row is in the first band, and processing from top to bottom, I get this, with 984 clues:

I just took your (old before modifying) grid and removed the clues from left to right, top to bottom and scrambled the result afterwards.
The best way I found now is to take the default grid and reverse the order of the stacks. Then I remove the clues from left to right, top to bottom. We get these grids:

Code: Select all

 +-------+-------+-------+
 | . . . | . . . | . . . |
 | . . . | . . . | 4 5 6 |
 | . . . | 1 2 3 | . . . |
 +-------+-------+-------+
 | . . . | . . . | . . . |
 | . . . | . . . | 5 6 7 |
 | . . 7 | 2 3 4 | . . . |
 +-------+-------+-------+
 | . . . | . . . | . . . |
 | . . . | . . . | 6 7 8 |
 | . 7 8 | 3 4 5 | . . . |
 +-------+-------+-------+ 21 clues

 +-------------+-------------+-------------+-------------+
 |  .  .  .  . |  .  .  .  . |  .  .  .  . |  .  .  .  . |
 |  .  .  .  . |  .  .  .  . |  .  .  .  . |  5  6  7  8 |
 |  .  .  .  . |  .  .  .  . | 13 14 15 16 |  9 10 11 12 |
 |  .  .  .  . |  5  6  7  8 |  1  2  3  4 |  .  .  .  . |
 +-------------+-------------+-------------+-------------+
 |  .  .  .  . |  .  .  .  . |  .  .  .  . |  .  .  .  . |
 |  .  .  .  . |  .  .  .  . |  .  .  .  . |  6  7  8  9 |
 |  .  .  .  . |  .  .  .  . | 14 15 16  1 | 10 11 12 13 |
 |  .  .  . 13 |  6  7  8  9 |  2  3  4  5 |  .  .  .  . |
 +-------------+-------------+-------------+-------------+
 |  .  .  .  . |  .  .  .  . |  .  .  .  . |  .  .  .  . |
 |  .  .  .  . |  .  .  .  . |  .  .  .  . |  7  8  9 10 |
 |  .  .  .  . |  .  .  .  . | 15 16  1  2 | 11 12 13 14 |
 |  .  . 13 14 |  7  8  9 10 |  3  4  5  6 |  .  .  .  . |
 +-------------+-------------+-------------+-------------+
 |  .  .  .  . |  .  .  .  . |  .  .  .  . |  .  .  .  . |
 |  .  .  .  . |  .  .  .  . |  .  .  .  . |  8  9 10 11 |
 |  .  .  .  . |  .  .  .  . | 16  1  2  3 | 12 13 14 15 |
 |  . 13 14 15 |  8  9 10 11 |  4  5  6  7 |  .  .  .  . |
 +-------------+-------------+-------------+-------------+  86 clues

 +----------------+----------------+----------------+----------------+----------------+
 |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  6  7  8  9 10 |
 |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . | 16 17 18 19 20 | 11 12 13 14 15 |
 |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  1  2  3  4  5 | 21 22 23 24 25 |  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  .  . | 11 12 13 14 15 |  6  7  8  9 10 |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |
 +----------------+----------------+----------------+----------------+----------------+
 |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  7  8  9 10 11 |
 |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . | 17 18 19 20 21 | 12 13 14 15 16 |
 |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  2  3  4  5  6 | 22 23 24 25  1 |  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  . 21 | 12 13 14 15 16 |  7  8  9 10 11 |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |
 +----------------+----------------+----------------+----------------+----------------+
 |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  8  9 10 11 12 |
 |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . | 18 19 20 21 22 | 13 14 15 16 17 |
 |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  3  4  5  6  7 | 23 24 25  1  2 |  .  .  .  .  . |
 |  .  .  . 21 22 | 13 14 15 16 17 |  8  9 10 11 12 |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |
 +----------------+----------------+----------------+----------------+----------------+
 |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  9 10 11 12 13 |
 |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . | 19 20 21 22 23 | 14 15 16 17 18 |
 |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  4  5  6  7  8 | 24 25  1  2  3 |  .  .  .  .  . |
 |  .  . 21 22 23 | 14 15 16 17 18 |  9 10 11 12 13 |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |
 +----------------+----------------+----------------+----------------+----------------+
 |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . | 10 11 12 13 14 |
 |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . | 20 21 22 23 24 | 15 16 17 18 19 |
 |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |  5  6  7  8  9 | 25  1  2  3  4 |  .  .  .  .  . |
 |  . 21 22 23 24 | 15 16 17 18 19 | 10 11 12 13 14 |  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  . |
 +----------------+----------------+----------------+----------------+----------------+  185 clues

+-------------------+-------------------+-------------------+-------------------+-------------------+-------------------+
 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  7  8  9 10 11 12 |
 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . | 19 20 21 22 23 24 | 13 14 15 16 17 18 |
 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . | 31 32 33 34 35 36 | 25 26 27 28 29 30 | 19 20 21 22 23 24 |
 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  7  8  9 10 11 12 |  1  2  3  4  5  6 | 31 32 33 34 35 36 |  .  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  .  .  . | 19 20 21 22 23 24 | 13 14 15 16 17 18 |  7  8  9 10 11 12 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |
 +-------------------+-------------------+-------------------+-------------------+-------------------+-------------------+
 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  8  9 10 11 12 13 |
 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . | 20 21 22 23 24 25 | 14 15 16 17 18 19 |
 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . | 32 33 34 35 36  1 | 26 27 28 29 30 31 | 20 21 22 23 24 25 |
 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  8  9 10 11 12 13 |  2  3  4  5  6  7 | 32 33 34 35 36  1 |  .  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  .  . 31 | 20 21 22 23 24 25 | 14 15 16 17 18 19 |  8  9 10 11 12 13 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |
 +-------------------+-------------------+-------------------+-------------------+-------------------+-------------------+
 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  9 10 11 12 13 14 |
 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . | 21 22 23 24 25 26 | 15 16 17 18 19 20 |
 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . | 33 34 35 36  1  2 | 27 28 29 30 31 32 | 21 22 23 24 25 26 |
 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  9 10 11 12 13 14 |  3  4  5  6  7  8 | 33 34 35 36  1  2 |  .  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  . 31 32 | 21 22 23 24 25 26 | 15 16 17 18 19 20 |  9 10 11 12 13 14 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |
 +-------------------+-------------------+-------------------+-------------------+-------------------+-------------------+
 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . | 10 11 12 13 14 15 |
 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . | 22 23 24 25 26 27 | 16 17 18 19 20 21 |
 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . | 34 35 36  1  2  3 | 28 29 30 31 32 33 | 22 23 24 25 26 27 |
 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . | 10 11 12 13 14 15 |  4  5  6  7  8  9 | 34 35 36  1  2  3 |  .  .  .  .  .  . |
 |  .  .  . 31 32 33 | 22 23 24 25 26 27 | 16 17 18 19 20 21 | 10 11 12 13 14 15 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |
 +-------------------+-------------------+-------------------+-------------------+-------------------+-------------------+
 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . | 11 12 13 14 15 16 |
 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . | 23 24 25 26 27 28 | 17 18 19 20 21 22 |
 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . | 35 36  1  2  3  4 | 29 30 31 32 33 34 | 23 24 25 26 27 28 |
 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . | 11 12 13 14 15 16 |  5  6  7  8  9 10 | 35 36  1  2  3  4 |  .  .  .  .  .  . |
 |  .  . 31 32 33 34 | 23 24 25 26 27 28 | 17 18 19 20 21 22 | 11 12 13 14 15 16 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |
 +-------------------+-------------------+-------------------+-------------------+-------------------+-------------------+
 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |
 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . | 12 13 14 15 16 17 |
 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . | 24 25 26 27 28 29 | 18 19 20 21 22 23 |
 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . | 36  1  2  3  4  5 | 30 31 32 33 34 35 | 24 25 26 27 28 29 |
 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . | 12 13 14 15 16 17 |  6  7  8  9 10 11 | 36  1  2  3  4  5 |  .  .  .  .  .  . |
 |  . 31 32 33 34 35 | 24 25 26 27 28 29 | 18 19 20 21 22 23 | 12 13 14 15 16 17 |  .  .  .  .  .  . |  .  .  .  .  .  . |
 +-------------------+-------------------+-------------------+-------------------+-------------------+-------------------+  447 clues


For N=7 we get the 756 clue puzzle shown before and for N=8 we get a 1436 clue puzzle.
In general the lower bound for N^2xN^2 is now

1/8 N (-4+4 N-2 N^2+3 N^3) for even N and
1/8 N (-4+5 N-4 N^2+3 N^3) for odd N.

For 225x225 this gives 17430 clues and for 144x144 it gives 7410 clues now

[m_b_metcalf]

For N=7 we get the 756 clue puzzle shown before and for N=8 we get a 1436 clue puzzle.
In general the lower bound for N^2xN^2 is now

1/8 N (-4+4 N-2 N^2+3 N^3) for even N and
1/8 N (-4+5 N-4 N^2+3 N^3) for odd N.

For 225x225 this gives 17430 clues and for 144x144 it gives 7410 clues now

Very nice result. And I guess that's another piece of sudoku research neatly wrapped up. What would the massed spectators like to be investigated next? (But not soon, I leave for a brief holiday tomorrow.)

[hkociemba1]

Just out of curiosity I generated a random 400x400 sudoku which can be solved with hidden singles and is minimal with regard to hidden singles. (Only) 43857 of the 160000 clues could be removed and there are 116143 clues and 457182 candidates(pencilmarks) left. It took about 5 days to create the puzzle.

On the other hand using the default construction for low clue puzzles described above I got a puzzle within seconds with 101810 clues removed and hence only 58190 clues left. It is solvalbe with hidden+naked singles. The most striking difference to the first puzzle is the number of candidates (pencilmarks) in the cells left. This one has 17.987.385 pencilmarks left which is much more than the 457.182 in the first puzzle.

You should not try to solve these puzzles by hand unless you have really no idea what you could do with your life. You can take a look at the puzzles here :
https://github.com/hkociemba/sudokuNxM/tree/master/sudokus

[m_b_metcalf]

Hello,
Here a 64x64 X-sudoku
[snip]

Phil,
Thanks for this. When you first published this my program was unable to solve it. It now succeeds (but takes 450s!), and I estimate the difficulty to be ~ SE = 9 - 10.
[Edit (30.12.2014): New desktop, new compiler, some optimizations --> 93s!]

Checking on ancient history and on how well programs have improved, this now solves in only 20s, sufficient to generate a version of the puzzle with a further 32 clues symmetrically deleted.

Mike

Code: Select all

  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  .  . 49 41  . 55 42 40 21  7 39  . 34 30 59  .  . 51  . 13 25  . 31 23  9  . 60 53 33 35  3  .  . 27  4 12 32 24  . 64 54 52  . 44  6  . 47  .  .  8 29 43  . 22  2 37 16 57 10  . 62  5  .  .
  . 54  .  . 47  . 50  7 58 57  . 49  .  .  . 26  . 14 40 29 63  . 15  . 55 20 56 21 10  . 44  .  .  1  . 46 61  6 37 59  .  3  . 60 35 27  2  . 52  .  .  . 62  .  5 19 30 51  . 22  .  . 64  .
  .  6  .  . 24 17  . 14 20  .  8 11  . 16 35 54  . 48  . 32  .  2  . 49  .  .  .  . 12 22 23 38 13 39 63 51  .  .  .  . 56  . 15  . 18  . 26  . 33  3 64  . 55 36  . 46 34  . 29 31  .  . 28  .
  .  .  1  2  . 21 19 13 47  .  5  4  . 50 63 55 24 17 11 27 37  . 38 53 34  .  . 62  . 15 46 29 33 28 52  . 36  .  . 42 49  7  . 61 22  8 51 10 48 60 12  . 58 32  . 16  3 43 23  . 18 20  .  .
  . 43  . 15 44  .  3 32  1 24 17  . 25 51 31 52 47 62 33 64  9 28 60  .  4 36 61 13 40  . 37 16  2 11  . 34 14 35 26 56  . 12  5 53 48 21 41 20 57 54 39  7  . 59 45 30 55 63  .  8 58  . 42  .
  . 23 20  . 22 58  . 63  .  .  6 13  3  . 37  .  .  .  4  5  . 34 35  .  8  . 14 27  . 32 41 30 29 43 21  . 19 44  .  7  . 59 36  . 33 39  .  .  . 18  . 56 47 42  .  .  9  . 17 60  . 52 46  .
  . 48 38 12 59  5 16  .  .  . 23  9 36 28  . 60 10 21 30 54 22  .  .  . 19 49 24 58  .  . 64  .  . 25  .  .  3 53 47 40  .  .  . 45 46  4 17 32 34  . 35 14 41  1  .  .  . 39 26  6 13 27  2  .
  . 49 33 53  7 28  .  .  .  . 19 58  6  . 13 16 51 15  . 35 34 37 23 43  .  . 31 41  . 46 48 40 63 60 30  . 24  2  .  . 14 21  3 22 17  . 39  9 64 56  .  4 29 50  .  .  .  . 55 52 12 61 36  .
  . 26  2  .  . 14  .  .  .  .  . 23  . 17 18  .  9  5 38  . 45 24  . 52 11 51 12  . 60 19 62 56 32 21 42  7  . 28 54 57 59  . 63 49  . 29 33 47  . 36 53  . 61  .  .  .  .  . 41  .  . 43 44  .
  . 61  . 45 64 34 44 55 27  .  . 63  .  . 54  .  .  . 28 47 29  6  7 32 24 39 18  . 42 14 57  .  . 51 19 43  . 37 56 22 60 50 48 46 31 16  .  .  . 41  .  . 38  .  . 23 58  3  2 62 26  . 15  .
  .  . 24 25 15  . 38 19 44 51  2  . 35 39  . 12 40 27 10 48  .  . 62 13 21 52 29 50 16  .  . 23 64  .  . 26 17 41 46 45  1 43  .  .  5 54 30 34 37  . 11 58  .  6 60  8 53 31  .  4 14 47  .  .
  . 31  .  .  . 60 54 29 62  .  . 41  . 38 46  . 11 25 59 33 18  4  .  .  .  . 36  . 64  .  . 63 35  .  . 48  . 39  .  .  .  . 53 51 15  2 20 44  . 27 13  . 24  .  . 22  5 56 57  .  .  . 17  .
  .  .  .  . 50  8  .  .  . 34  . 24  .  .  .  .  . 30 17 21 39  . 46  .  .  . 22 55  .  .  .  2  3  .  .  . 11 52  .  .  . 57  . 35 58 28 23  .  .  .  .  . 31  . 26  .  .  . 49 42  .  .  .  .
  . 52  . 17 23 11 27  . 50 32 20  . 60 59  .  . 14 41  . 42  .  . 64  . 37  . 45 43  7  3 53 15 36 29 44  8 31  5  . 62  . 10  .  .  4  . 40 56  .  . 30 16  . 28 51 49  .  6  9 63 19  . 13  .
  .  . 56 46 10 39  . 51 31  .  . 64  .  .  .  . 60 53  8 12  1 20 55  . 44  . 32  4 26 17 13 35 50 59 23 15 58 34  .  6  . 41 37 36 19 52 18 62  .  .  .  . 25  .  .  7 27  . 38 24 28 16  .  .
  .  .  .  . 36 31  . 21 54 35  . 16 46  . 39  6  .  . 32 24  . 41  .  . 51 63  . 52  .  .  .  8 43  .  .  . 44  . 27 13  .  . 60  .  7 18  .  . 12 49  . 57 42  .  4 33 64  . 45 55  .  .  .  .
  . 34 51  3 20 25  . 15 10 14  . 59 21 37 57 29  .  .  .  4  5 61  2 35 13  9 62 26 48  .  . 42  1  .  . 22 53 38 30 47 43 46 41 28 27  .  .  .  7 52 16 45 63  . 64 36 19  . 31 39 11 24 40  .
  .  . 13  . 56 52 53 59  .  8 42 48 24 47  . 20 16  .  .  . 51 64 33 14 57  7  . 61 50 34  5  .  . 23 28 41 49  .  4 25 19 58 45 11  .  .  . 38 40  . 32 35 43 44  1  . 46 29 62 27  . 26  .  .
  . 40 23 63 14 26 29 39  4  . 53 31 43 27  3  7 59 57  .  .  .  .  8  .  . 44 33  .  . 30  .  1 52  . 37  .  . 18 35  .  . 17  .  .  .  . 21  6 56 62 28 41 51 11  . 50 61 42 25 34 32 13 22  .
  . 35  8  . 19 44  . 58 63  9 15  . 50 12  . 17  . 45 49  .  . 11  . 31 32  3  .  6  . 53  2 46 26 34  7  . 56  . 64 51 29  . 59  .  . 61  1  . 22  . 47 60  .  5 14 24  4  . 43 20  . 21 16  .
  .  .  . 16  . 30 64  . 34 13 61  . 44 56  . 22 20 40 63  . 28  .  6 47 31  . 35  .  .  4 49  .  . 54 15  .  . 10  .  5 37 62  . 52  .  9 53 24 25  .  8 46  . 27 19 21  . 59 58  .  2  .  .  .
  . 24 50  . 57 42 17  . 11  . 28 62  . 52 33 23  . 34 43 36  . 30  . 58 29 21 41 56 25 64 47  .  . 32 16  6 48 46 59 31 20  . 49  . 40 26 35  . 61  2 55  .  9 37  . 54  . 60  8 18  . 44 63  .
  . 27  .  4 60  .  .  .  5 26 49 18  .  .  .  .  . 56 62  . 10  1 48  .  . 16 11 15 14  .  . 43 40  .  . 50 45 21 61  .  . 44 31 57  . 34 25  .  .  .  .  . 39 58 20  6  .  .  . 41  9  . 33  .
  . 20 41  . 16 61 13 10  . 55 57 38  . 43 53 34 44 39 46  .  8 14 36  .  .  .  .  .  . 29 31 28 59 35 64  .  .  .  .  .  . 56 32  2  .  7  9 25 54 50 24  . 45 47 30  . 11 27  4 12  . 22 37  .
  .  . 47  .  . 19  .  4  . 29 56  3  .  .  .  . 35 20 27 30 23  . 24 25  .  .  5 14 53 54 11  9 46 57 10 52 39 42  .  . 17 61  . 62 12 45 13 36  .  .  .  . 33 64 38  . 49  . 16  .  .  6  .  .
  . 18 64  .  . 45 31 30 37 11 33 46 62 54 19 58  . 52  . 26  . 15  1 56  . 23  .  . 34 63 27  7  9 16 61 36  .  . 22  . 44  6 57  . 38  . 10  . 17 20 48 25 13  4 12 14 21  2 50  .  .  3 60  .
  . 62 29  . 48 37 36 43 25  .  .  7  . 26 49 28 45 38 64  . 53  . 16 22  . 60  .  .  . 56 61  .  . 12 54  .  .  .  6  . 50 34  .  5  . 11 46 15  1 44 51  . 23  .  . 58 32 33 30 13  . 19  8  .
  . 17  5 58  . 54  .  .  . 16 64 45 13  .  8 30  . 32 42  .  .  . 49 62  . 25 43  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 56 28  .  3 22  .  .  . 35 59  .  6 39  . 31 11 52 63  .  .  . 18  . 20 46 10  .
  . 32  . 55 52  . 56  .  9 47 51  .  . 22 24  2  .  . 34 43 54 57 50  . 26 46 20 10  .  .  . 64 21  .  .  . 37  1 13 17  .  8  4 58 28 40  .  . 27 59 42  .  . 49  7 61  . 14  . 44 45  . 31  .
  . 12 15 34 26 24 11 23 17 50 18  .  .  . 20 40  .  . 48  . 31 10  3  . 39 37  4  1  .  .  .  .  .  .  .  . 63 55 25 38  . 42 54 30  . 60  .  . 29 35  .  .  . 53  9 57 43 47 56 59 41 28  5  .
  .  .  . 49 27 53 60  . 15 10  . 39 61 35 42 32  4 58  . 11 40  .  . 63 41 22  3  .  .  8  .  .  .  . 34  .  . 50 20 29 47  .  . 31 23  . 14  1 18 16  2 55 56  . 28 62  . 38 64 25 17  .  .  .
  .  .  . 54 35 48 32  . 57 20  . 37 23 44 38  9 55 29  . 25 30  .  . 11 33 28 13  .  . 27  .  .  .  . 12  .  . 22 50 43  2  .  . 42 62  . 61 64 59 10 63 52 46  . 56 47  . 17  5 36 15  .  .  .
  . 30 19 20  2 50 34 17 29 46 54  .  .  . 14 42  .  . 53  . 62 31  4  . 48 26 21 12  .  .  .  .  .  .  .  . 18 33  5  3  . 47  8 15  . 25  .  .  9 22  .  .  .  7 23 55 57 16 24 64 61 37 11  .
  . 51  .  1 41  . 33  . 36 62 16  .  .  8 64 10  .  . 47  9 13 60 17  . 46 53 58 22  .  .  . 25 24  .  .  . 29 40 39 52  . 20 11 12 37 59  .  .  2  5 49  .  .  3 32  4  . 44  . 50 27  . 48  .
  . 16  7 52  . 27  .  .  . 43 55 21 22  . 25 48  . 49 12  .  .  . 42 59  . 56 19  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 17  2  . 41  1  .  .  . 10  4  . 44 14  . 39 53 33 24  .  .  . 28  . 40 30 32  .
  .  4 44  . 42 10 43 49 30  .  . 56  . 31 61 59 27 33 50  . 52  . 32  7  .  8  .  .  . 37 15  .  . 36 25  .  .  . 57  . 26 28  . 39  . 51 24  5 38 34  6  . 54  .  . 12 62 58 46 19  .  9 21  .
  . 38 55  .  . 46  5  9 28 19 12  1  7  3 27 33  . 22  . 58  . 40 37 54  . 30  .  . 18 24 63 57  4 42 41 47  .  . 49  . 32 45 52  . 56  . 60  . 16 25 61 64  8 15 31 51 29 34 35  .  . 14 26  .
  .  . 22  .  . 12  . 31  . 52 47 50  .  .  .  .  5 18 24 44 20  . 21 36  .  . 34 16  9 55  4 32 53 46 62 60 10 59  .  . 38 30  . 29 63  3 27 40  .  .  .  . 48 57 58  . 33  . 51  .  .  7  .  .
  .  8 11  . 37 40 47 24  . 18 58 26  .  4 32 39 64 19 16  .  3 46 43  .  .  .  .  .  . 60 10 44 61 13 27  .  .  .  .  .  . 14 33  9  . 48 22 57 42 21  1  . 28 62 41  . 45 52 12 56  .  2 25  .
  . 44  . 29 54  .  .  . 61 41 35 12  .  .  .  .  . 31 36  .  6  3 18  .  . 13 39 47 28  .  . 24 48  .  . 59 57 23  1  .  .  5  7 56  . 62 19  .  .  .  .  . 10  8 33 32  .  .  . 51 60  . 49  .
  . 10  3  . 32 51 26  . 39  .  4  8  . 49 56  1  .  2 19 40  . 21  . 42 16 48 54 59 31 62 35  .  . 44 11 58 38 29 36 46 57  . 28  . 61 55 37  . 60 53  9  . 14 30  . 52  . 41 22 43  . 64 23  .
  .  .  . 13  . 23  8  . 14 54 44  .  9 62  .  3 53 43 37  . 35  . 28 24 10  . 63  .  .  2 60  .  . 41  5  .  . 64  . 19 58 25  . 17  .  1 42 46  4  . 26 47  . 20 57 59  . 45 48  . 29  .  .  .
  . 58 14  . 17 41  . 61 46 36 26  . 47 34  . 57  .  8 13  .  . 39  . 38 15 29  . 44  . 25 56  5 49  9 24  . 12  . 52 33 53  . 35  .  . 20 64  .  3  . 37  2  . 43 50 28 10  . 40 54  . 11 55  .
  . 36 39 43  4 16 45 28 59  . 21  2 37 33 58 31 25 64  .  .  .  . 10  .  . 55 53  .  .  1  . 51 18  . 35  .  . 27 63  .  . 26  .  .  .  .  6 41 49 38  5 11 40 24  . 13 12 61 20 30 57 56 47  .
  .  . 52  . 62 33 49 37  . 60 10 51 15 11  . 64 23  .  .  . 44 12 56 30  6 18  . 46 45 57 14  .  .  3  2 13 22  . 34 39 40  4 29  8  .  .  . 21 63  . 31 17 19 41 36  . 59 53 42 32  . 25  .  .
  . 21  6 56  5 59  . 38 53 48  . 28 32 63 40 19  .  .  . 49 14 27 41  1 36 64 37 34 11  .  .  3 51  .  . 62 25  8 42 30 33 23 47 13 54  .  .  . 55 46 45 29 16  . 39 35 24  . 44 17 50 58 52  .
  .  .  .  . 46 35  . 53 13  6  . 29 30  . 22 24  .  .  7 62  .  5  .  . 12 41  . 23  .  .  . 50 37  .  .  . 20  . 60 28  .  .  2  . 10 49  .  . 51 58  . 15 44  . 54 64  1  . 21 14  .  .  .  .
  .  . 17 57 21  4  . 22 16  .  . 10  .  .  .  . 43  7 39 55 24 13 30  .  3  . 52 29 32 48  8 20 34 56 40 44 60 45  . 41  . 35 14 18  2  6 50 61  .  .  .  . 64  .  . 26 38  . 27 28  1 33  .  .
  . 41  . 61 58 15 12  . 24 63 14  . 26 20  .  . 36  9  . 10  .  . 27  . 42  .  1 37 19 21 45 55 62 31 43 23 46 47  .  8  . 33  .  . 57  . 48  7  .  . 52  6  . 56 35 11  .  5 34 29 44  . 18  .
  .  .  .  . 30 13  .  .  . 56  . 25  .  .  .  .  . 46 45 28 17  . 54  .  .  . 50  7  .  .  .  4 39  .  .  . 64 20  .  .  . 60  .  1  8 53 62  .  .  .  .  . 34  . 59  .  .  . 61 35  .  .  .  .
  . 56  .  .  . 62 20 45  8  .  . 57  . 19 44  . 34 12 35 37  4 32  .  .  .  . 27  . 47  .  . 61  7  .  .  9  . 25  .  .  .  . 21 41 59 46 28 39  . 15 54  .  2  .  .  1 23 36  3  .  .  . 50  .
  .  . 36 28  6  . 25 52 43 64 41  . 18 21  . 45 15 16 61 50  .  . 14 44 23 35 51 63 56  .  . 53 30  .  .  2 27 49 17 10  4  9  .  . 26 58 34 54 47  . 57 38  . 55  8  3 31 20  . 11 46 42  .  .
  . 19  . 31 55  7 10 44  6  .  . 35  .  . 34  .  .  . 18  8 47 52 53  5 25 57 38  . 58 16 54  .  . 61 29  1  . 32 11 24 12 63 40  3 43 15  .  .  . 28  .  . 37  .  . 48 56 22 60 21 64  . 41  .
  . 33 46  .  . 43  .  .  .  .  . 47  . 53 55  . 38  1 31  . 41 22  . 21 60 10  6  . 62 12  9 34 54 52 36  4  . 16 15 18 11  . 56 20  . 19 44 45  . 61  7  . 30  .  .  .  .  . 63  .  . 48 24  .
  . 59 48 37  8 64  .  .  .  .  1 61 51  . 23  5 62 11  . 56 19 58 40 20  .  . 46 31  . 44 39 26 57 50 13  . 28  3  .  . 25 55 17 27 36  . 32 42 10 45  . 12 60 16  .  .  .  . 52  9 54  4 43  .
  . 13 37 60 61 38 52  .  .  . 59 30 55 25  . 46  7  6 22  2 58  .  .  . 17 47 28 51  .  . 34  .  . 64  .  . 54 62  3 50  .  .  . 19 14 44 29 26 45  . 41 21 57 35  .  .  . 23 53 16  8 63  4  .
  . 14 12  . 51 18  . 16  .  . 50 20 11  .  1  .  .  . 41 38  .  8 61  . 43  . 59 60  . 45 25 22 27 55 57  . 52 63  .  9  . 39  6  . 24 17  .  .  . 26  . 23  5 48  .  . 42  . 15  3  . 36 56  .
  . 53  . 10 43  .  1 48 12 38 37  . 39 23 52 63 31 35 20 45 36 62 51  . 56 50 44 18 41  . 30 54 22 15  . 25  8 61  7 34  . 11 64  4 13  5 55  3 58 47 60 33  . 19 16 42 40 21  . 46 49  . 29  .
  .  .  4 19  . 63 22 46 49  . 60 53  .  2 26 47 33 24 44 39 57  . 13 40 61  .  .  3  . 42 29 21 16  6 14  . 51  .  .  1 62 37  . 34 41 36 54 35 32  7 10  . 50 38  .  9 17 11 59  . 52 31  .  .
  .  3  .  . 29 20  . 64 45  . 13 43  . 24  4 56  . 63  . 16  . 53  . 10  .  .  .  . 35 49 55 48 19  2 47 31  .  .  .  . 46  .  1  . 25  . 58  . 30  6 14  . 52 39  . 40 22  . 33 26  .  . 61  .
  . 50  .  .  9  . 41 42  3  5  . 36  .  .  . 35  . 26 23 14 43  . 29  . 53 19 15 32 37  . 33  .  . 20  . 45 30 60 21 11  . 51  . 47 16 56 52  .  8  .  .  .  4  . 46 18 54 12  .  2  .  . 62  .
  .  . 62 32  . 47 39  8 18 40 22  . 48  6 29  .  . 28  . 15 12  . 59 19  1  . 16 38 46 58 36  .  . 49 26 37 41  4  . 35 27 53  . 21 45  . 43  .  . 13 17 61  . 63  3 25 44 64 14  . 34 50  .  .
  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
 

  No. clues: 2504

[creint]

Gurobi < 1s
My solver < 6s
2 layers of chains.

[m_b_metcalf]

FWIW, here's an easier version of the 64x64 X-sudoku, but with fewer clues. It's probably close to being symmetrically minimal.

Hidden Text: Show

Code: Select all

  .  . 27 39  .  .  9 25 22 53 46 15 29 32 12 18 42  3  .  . 55 19  .  .  . 43 48  5  2 11  .  .  .  . 58 17 50 54 16  .  .  . 62 64  .  . 57 37 28 51  4 44 21 13 10 31 14 40  .  . 47 35  .  .
  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 18 15  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  . 54  . 33 47 36 50  7 58  . 45 49 41 42  . 26  . 14  . 29 63 43 15 39  . 20 56 21  . 28 44 17 31  1 38  . 61  6 37  . 34  3 13 60 35  .  2  . 52  . 23  9 62 25  . 19 30 51 11 22  4  . 64  .
  .  .  .  .  . 17  4  . 20  .  8 11  .  .  .  .  . 48  1  .  7  2 58  .  . 42 47  .  .  .  . 38 13  .  .  .  .  9 62  .  . 19 15 40  . 43 26  .  .  .  .  . 55 36  . 46  . 25 29  .  .  .  .  .
 35 64  .  2  . 21 19 13 47  .  5  4  . 50 63 55 24 17 11 27 37 59 38 53 34  . 25  . 39 15 46  .  . 28 52 57  . 30  . 42 49  7  9 61 22  8 51 10 48 60 12  . 58 32  . 16  3 43 23  . 18  . 54 56
 18 43  . 15 44  .  . 32  1 24 17 27 25 51  . 52  . 62 33 64  9 28  .  .  4 36  . 13 40 50  .  .  .  . 22 34 14  . 26 56  .  .  5 53 48 21 41  . 57  . 39  7  6 59 45 30 55  .  .  8 58  . 42 49
 51 23  . 26 22  .  . 63 64  .  6 13  .  .  . 62 12 61  4  5 16 34 35  .  8  .  . 27 54 32 41 30 29 43 21 55 19  .  .  7  . 59 36 25 33 39 11 31 50  .  .  . 47 42  . 38  9  .  . 60 48  . 46 53
  . 48 38 12 59  5 16  .  . 33 23  9 36 28  .  . 10  . 30  . 22  .  . 57 19 49 24 58  .  . 64 31 20 25  .  .  3 53 47 40 42  .  . 45  .  4  . 32  .  . 35 14 41  1 61  .  . 39 26  6 13 27  2  .
 32 49 33 53  7 28 62 47  .  1 19 58  . 45  . 16  . 15 57 35  . 37  .  .  5 54 31 41 59 46 48  .  . 60 30 27 24  2 38 20  .  .  3  . 17 42 39  . 64  . 18  . 29 50 44  . 25  8 55 52 12 61 36 11
  3 26  2  6  . 14 58  . 55  . 30 23  .  . 18  8  .  5  . 31 45 24 22 52 11  . 12  . 60 19  .  .  .  . 42  7  . 28  . 57 59 27 63 49 64  . 33  . 15 36  .  . 61 40  . 39  . 10 41  . 35 43 44 46
  4 61 30 45 64 34 44 55 27 21  .  .  5 10 54  .  . 36  .  . 29  6  7 32 24 39 18  8 42 14  . 33 25  . 19 43 13 37 56 22 60 50 48 46  .  . 12  .  . 41 59 20  .  . 17 23 58  3  2 62 26  1 15 40
  . 42 24 25 15 22 38 19 44 51  2  . 35 39 36  . 40 27 10 48 56 63 62 13 21  .  . 50 16  9 28 23 64 18 49 26 17  .  . 45  1 43 61  7  5 54 30 34  . 55 11 58  .  6 60  8 53 31 32  4 14 47 20  .
  . 31 16  . 12  .  . 29  .  .  .  .  . 38  . 43  .  .  .  .  .  . 26  . 30 58  .  .  .  .  . 63 35  .  .  .  .  . 40 61  . 32  .  .  .  .  .  . 19  . 13  .  .  .  .  .  5  .  . 37  . 34 17  .
  5 37 18 36 50  8 59 41 40 34  9 24  .  . 15 61 19  . 17 21 39  . 46 16 47 27  . 55  . 20 38  2  3  4 53  . 11  . 14 12  6 57  . 35 58 28  . 13 43 63  .  . 31 54 26 45 60  7 49 42 33 29 51 64
  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 15 36  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  .  .  .  .  .  . 40 51  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 12  .  .  .  3  .  . 32  .  .  .  . 35 50  .  .  .  . 34  .  . 45  .  .  . 19  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 27 54  .  .  .  .  .  .
 47  . 61 48 36 31  .  .  . 35  .  . 46  1 39  .  .  . 32 24  . 41  . 29 51  .  . 52 22 59 58  8 43 62  9 20 44  .  . 13 15  . 60  .  7 18  .  .  . 49  3 57  .  .  4  .  .  . 45 55 56 53  . 10
 33  . 51  3 20  .  6 15 10  . 32 59 21  . 57 29 50  .  .  4  5 61  2 35  .  9 62  .  . 18 17 42  1 58 60  .  . 38 30  . 43 46 41 28 27  .  .  8  7 52  . 45 63 23  . 36 19 49  . 39 11 24  . 54
  .  .  .  .  .  .  . 59  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 37 17  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 46  .  .  .  .  .  .  .
 49  . 23 63 14  . 29 39  4 58 53  . 43 27  .  7 59 57 15  . 46 38  .  .  . 44 33 54 20  . 12  1 52 19  . 24  2 18 35  .  .  . 10 16  . 64 21  6 56  . 28 41  . 11 48 50 61 42  . 34 32 13  .  5
 62 35  . 38 19  . 37 58  .  9 15 40  .  . 41 17  .  . 49 23  . 11 25 31  .  3 10  6  . 53  . 46 26  .  7  . 56 57 64  . 29 54 59  . 55 61  .  . 22 30  .  . 18  5 14  .  4 28  . 20 36  . 16 52
 41 45 43 16 18 30  . 12  . 13  . 55  . 56 51  . 20 40 63  . 28  .  . 47 31 38 35 39 36  4 49 60 11 54 15 42 33 10 29  5 37  .  . 52  .  9 53 24  . 17  8  . 26  . 19  . 48  . 58 57  2 23 14  1
  .  . 50  . 57 42 17  . 11 45 28 62 38 52 33 23 22  .  . 36 27 30  . 58  . 21  . 56 25 64 47 19 12 32 16  6 48  . 59  . 20  . 49 14 40  .  .  4 61  2 55 10  9 37 53 54  . 60  8 18  . 44  .  .
 55 27 54  .  . 32 46  .  5 26  . 18 19 64 30 36 52 56 62 53 10  . 48  . 28 16 11 15 14 23 24  .  .  8  3 50 45 21 61 63  . 44  . 57 42 34 25 51 13 29 38 59 39  . 20  6  . 35 47  .  . 17 33 37
  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 53  .  .  . 46  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 29 31 28 59 35 64  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  7  .  .  . 50  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  2 28  . 50 63 19  .  4 48 29 56  3 31 60 21 44 35 20 27 30 23  .  . 25 59  .  5 14  .  . 11  .  . 57  .  . 39 42  . 15 17  .  . 62 12 45 13 36 41 32 22 37 33 64 38 43 49  . 16  1  7  . 34 58
 42 18  .  8 39 45 31 30 37 11 33 46 62 54 19 58 28 52  5  .  . 15  1 56  . 23  . 24 34  . 27  .  . 16  . 36 47  . 22  . 44  6 57  .  . 41 10 55 17 20 48 25 13  4 12 14 21  2 50 40 53  . 60 29
  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 52 41  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
 44 17  . 58  . 54 14 57 23 16  . 45 13  .  8  . 37  . 42  . 61  9 49 62 38  . 43 19  . 47 50 12 60 24 33  .  4 56  .  2  3 22 27 26  . 35  . 29  . 39  . 31 11  . 63 34 51 48 18  . 20  . 10 36
 38  . 25 55 52  3 56  .  9 47 51  .  .  . 24  2  .  .  . 43  . 57 50 41 26 46 20 10  6  .  . 64 21  .  . 11 37  1 13 17 48  8  4  . 28  .  .  . 27 59  .  .  . 49  7 61  . 14 39 44 45 62  . 23
 22 12 15 34 26 24 11 23 17 50  .  6 27  . 20 40 21 13 48 19  . 10  3  2 39 37  4  1 44 51  . 62 58  . 45 49 63 55 25 38 64 42 54  . 52 60 16 33 29 35  .  8 36  .  9 57 43 47 56 59 41 28  5 61
 46  7 59 49  .  . 60  6 15  . 36  . 61 35 42 32  4 58 51  .  . 33 12 63 41  .  3 45 30  8 21  .  . 48 34  5 43 50  . 29 47 24 19  .  . 37 14  1 18 16  2 55  . 26  . 62 52 38  .  . 17 54 57  9
 58 39 21 54  .  . 32 18 57  . 24  . 23 44 38  9 55 29 14  .  . 51 34 11 33  . 13 40  3 27  1  .  . 26 12 19  7 22  . 43  2 49 16  .  . 31 61 64 59 10 63 52  . 45  . 47 41 17  .  . 15 60 53  4
 45 30 19 20  2 50 34 17 29 46  . 60 49  . 14 42 56 10 53  1  . 31  4 28 48 26 21 12 52 39  . 41 38  . 51 32 18 33  5  3 35 47  8  . 44 25 36 58  9 22  . 40 27  . 23 55 57 16 24 64 61 37 11  6
 63  . 57  1 41  6 33  . 36 62 16  .  .  . 64 10  .  .  .  9  . 60 17 15 46 53 58 22 38  .  . 25 24  .  . 28 29 40 39 52 21 20 11  . 37  .  .  .  2  5  .  .  .  3 32  4  . 44 54 50 27 55  . 31
 36 16  . 52  . 27 15 60 35 43  . 21 22  . 25  .  8  . 12  . 38 26 42 59 62  . 19 11  . 31 51 45  6 37 20  .  9 17  . 58 41  1 46 54  . 10  . 18  . 14  . 39 53  . 24 29 63 13 28  . 40  . 32 47
  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 47 55  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
 59 38  . 62 53 46  5  9 28 19 12  1  7  3 27 33 39 22  2  .  . 40 37 54  . 30  . 36 18  . 63  .  . 42  . 47 21  . 49  . 32 45 52  .  . 13 60 17 16 25 61 64  8 15 31 51 29 34 35 10 43  . 26 20
 56 25  . 64 28 12  . 31 41 52 47 50  2 15  6 11  5 18 24 44 20  .  . 36 54  . 34 16  .  .  4  .  . 46  .  . 10 59  . 23 38  .  . 29 63  3 27 40 26 37 19 13 48 57 58 17 33  . 51 49 42  . 39  8
  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 32  .  .  . 16  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 60 10 44 61 13 27  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 48  .  .  . 21  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
 64 44 63  .  .  9 30  . 61 41  . 12 20 55 45 27 58 31 36 52  6  . 18  . 40 13 39 47 28 38 43  .  . 53 50 59 57 23  1  4  .  5  . 56 11 62 19 14 21 42 25 22 10  . 33 32  . 46 37  .  . 15 49  2
  .  .  3  . 32 51 26  . 39 25  4  8 17 49 56  1 63  .  . 40 15 21  . 42  . 48  . 59 31 62 35 27 45 44 11 58 38  . 36  . 57  . 28 24 61  .  . 12 60 53  9 34 14 30  6 52  . 41 22 43  . 64  .  .
 15 22 31 13 40 23  . 11  . 54  . 52  . 62 50  . 53 43 37  . 35  .  . 24 10 32 63 33 21  2 60 49 56 41  5 61  6 64 55 19 58  .  . 17  .  1 42 46  . 12 26  .  7  . 57  . 36  . 48 38 29 39 27 18
 19 58  . 18 17  . 48 61  . 36 26 42  .  . 16 57  .  . 13 22  . 39 45 38  . 29 30 44  . 25  .  5 49  . 24  . 12  7 52  . 53 31 35  . 51 20  .  .  3 23  .  .  1 43 50  . 10 62  . 54  6  . 55 63
 60  . 39 43  4  . 45 28 59 23 21  . 37 33  . 31 25 64  9  . 50 29  .  .  . 55 53 42  8  .  7 51 18 17  . 54 15 27 63  .  .  . 44 48  . 32  6 41 49  .  5 11  . 24 62 13 12 61  . 30 57 56  . 19
  .  .  .  .  .  .  . 37  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 58 47  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 59  .  .  .  .  .  .  .
 12  .  6 56  5  .  2 38 53  . 43 28 32  . 40 19 57  .  . 49 14 27 41  1  . 64 37  .  . 61 20  3 51 10 31  .  .  8 42  . 33 23 47 13 54  .  . 60 55 46  . 29 16 18  . 35 24  9  . 17 50 58  .  7
 25  . 42 27 46 35  .  .  .  6  .  . 30 18 22  .  .  .  7 62  .  5  . 33 12  .  . 23 17 52 19 50 37 40 32 16 20  .  . 28 39  .  2  . 10 49  .  .  . 58 56 15  .  . 54  .  .  . 21 14 31  8  . 34
  .  .  .  .  .  . 63 22  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 55  .  .  . 51  .  . 52  .  .  .  . 20 34  .  .  .  . 45  .  .  5  .  .  .  2  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 38 37  .  .  .  .  .  .
  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 55 62  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
 11  2 32  5 30 13 18  3 42 56 48 25  .  .  9 49  6  . 45 28 17  . 54 26 14 24  .  7  . 41 22  4 39 33 55  . 64  . 12 37 31 60  .  1  8 53  . 52 36 40  .  . 34 21 59 44 47 15 61 35 10 57 19 16
  . 56 40  . 38  .  . 45  .  .  .  .  . 19  . 13  .  .  .  .  .  . 63  . 64  5  .  .  .  .  . 61  7  .  .  .  .  . 58 48  . 16  .  .  .  .  .  . 31  . 54  .  .  .  .  . 23  .  . 53  . 49 50  .
  . 29 36 28  6  1 25 52 43 64 41  . 18 21 60  . 15 16 61 50 33 48 14 44 23  .  . 63 56 13 40 53 30  5 59  2 27  .  . 10  4  9 24 37 26 58 34 54  . 19 57 38  . 55  8  3 31 20  7 11 46 42 12  .
 50 19  9 31 55  7 10 44  6 59  .  . 33 46 34  .  . 42  .  . 47 52 53  5 25 57 38 30 58 16  . 36 14  . 29  1 26 32 11 24 12 63 40  3  .  . 49  .  . 28 20 62  .  . 13 48 56 22 60 21 64 45 41 17
 26 33 46 42  . 43 23  .  2  .  3 47  .  . 55 37  .  1  . 59 41 22 57 21 60  .  6  . 62 12  .  .  .  . 36  4  . 16  . 18 11 64 56 20 29  . 44  . 14 61  .  . 30 17  .  5  . 32 63  . 51 48 24 13
 34 59 48 37  8 64 24 35  . 22  1 61  .  7  .  5  . 11 29 56  . 58  .  .  2 15 46 31 49 44 39  .  . 50 13 63 28  3 53 21  .  . 17  . 36 47 32  . 10  . 33  . 60 16 18  .  6 30 52  9 54  4 43 14
  . 13 37 60 61 38 52  .  . 31 59 30 55 25  .  .  7  . 22  . 58  .  . 48 17 47 28 51  .  . 34 11 42 64  .  . 54 62  3 50 18  .  . 19  . 44  . 26  .  . 41 21 57 35 15  .  . 23 53 16  8 63  4  .
 54 14  . 44 51  .  . 16 33  . 50 20  .  .  . 21 46 47 41 38 64  8 61  . 43  .  . 60 13 45 25 22 27 55 57 40 52  .  .  9  . 39  6 10 24 17 31 49 62  .  .  .  5 48  . 53 42  .  .  3 37  . 56 30
 24 53  . 10 43  .  . 48 12 38 37 14 39 23  . 63  . 35 20 45 36 62  .  . 56 50  . 18 41 26  .  .  .  . 17 25  8  .  7 34  .  . 64  4 13  5 55  . 58  . 60 33 59 19 16 42 40  .  . 46 49  . 29 57
 30 15  . 19  . 63 22 46 49  . 60 53  .  2 26 47 33 24 44 39 57 18 13 40 61  .  8  . 23 42 29  .  .  6 14 56  . 58  .  1 62 37 20 34 41 36 54 35 32  7 10  . 50 38  .  9 17 11 59  . 52  . 45 48
  .  .  .  .  . 20 21  . 45  . 13 43  .  .  .  .  . 63 60  . 32 53  5  .  . 62 57  .  .  .  . 48 19  .  .  .  . 12 44  .  . 15  1 50  . 23 58  .  .  .  .  . 52 39  . 40  . 18 33  .  .  .  .  .
  . 50  . 59  9 49 41 42  3  . 34 36 57 61  . 35  . 26  . 14 43 17 29 55  . 19 15 32  . 40 33 39 28 20 48  . 30 60 21  . 63 51 38 47 16  . 52  .  8  . 44 27  4 31  . 18 54 12 13  2 25  . 62  .
  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 10  5  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  .  . 26 40  .  .  7 56 19 15 62 44 16  9 17 41  3 50  .  . 21 42  .  .  .  4 64 20 63  6  .  .  .  . 46 29 23 13 18  .  .  . 30 32  .  .  8 59 24 43 36 54 49 12 22  2 28 55  .  . 39 51  .  .

 No. clues: 2400

[m_b_metcalf]

FWIW, here's an easier version of the 64x64 X-sudoku, but with fewer clues. It's probably close to being symmetrically minimal.

Please note that this puzzle can be made much harder by removing the clue at r27c9 together with its 3 symmetric partners.

Mike

[1to9only]

I created a SudokuExplainer for big sudokus. The java code scales up pretty well, e.g. changing 3 to 10, 9 to 100, 81 to 10000, etc. There are other changes needed for Big SE to work, and there some technical issues to overcome, and some possible improvements to speed things up a little bit! As expected Big SE rating performance is atrocious.

The 100x100 grid posted by m_b_metcalf - Tue Nov 10, 2015 9:01 am: here is rated ED=3.6/1.2/1.2.

The 144x144 grid posted by sdkvo - Sat Apr 18, 2009 9:57 pm: here is rated ED=2.3/1.2/1.2.

[m_b_metcalf]

I created a SudokuExplainer for big sudokus. The java code scales up pretty well, e.g. changing 3 to 10, 9 to 100, 81 to 10000, etc. There are other changes needed for Big SE to work, and there some technical issues to overcome, and some possible improvements to speed things up a little bit! As expected Big SE rating performance is atrocious.

Very interseting. Have you tried the three I recently posted here?

Mike

[nono:3]

Good progress concerning generation of a valid grid. Generation of 100x100 took 15 min though I did not try any optimization yet. For 225x255 though I do not think it will finish in a reasonable time yet.
The algorithm yet is extremely simple:
1. Fill all rows with numbers from 1..N in random order.
2. Select a random row r and in this row two random cells (r,c1) and (r,c2).
3. Count the number n1 of "wrong" numbers in the two columns c1 and c2 and in the two blocks b1 and b2 the (r,c1) and (r,c2) are in.
4. Swap the content of (r,c1) and (r,c2).
5. Count again. If the number n2 of "wrong" numbers is now greater, swap back.
6. Goto 2 and repeat until the grid is valid. Validity can be computed by the initial value I for the number of wrong numbers and always updating this value: I <-- I - n1 + n2.
Surprisingly the algorithm does not seem to get stuck in a local minimum (most of the time?) and this greedy algorithm works. For a standard 9x9 creation time is only about 30 ms on average, for a 49x49 20 s to 30 s.

Hello! I'm new to this forum. This post was very useful to me, Herbert; thank you :) I had previously been using a backtracking algorithm to generate grids and this stochastic method scaled much better to large grid sizes.

I've implemented a tweaked version of this that may be slightly more optimized (though I have not implemented yours for comparing benchmarks).

1. Fill all rows with numbers from 1..N in random order.
2. For each horizontal chute,
2.1. For each block in the chute, have an array counting the times a value is seen in that block. ("blks_has")
2.2. Sum over each block the number of values 1..N which are not found in that block. ("has_nots")
2.2. While has_nots is not zero,
2.2.1. Pick a random row and two different cells in that row.
2.2.2. If swapping the values in those cells reduces has_nots, commit the operation and update blks_has and has_nots.
3. For each vertical chute,
2.1. For each block in the chute, have an array counting the times a value is seen in that block. ("cols_has")
2.2. Sum over each block the number of values 1..N which are not found in that block. ("has_nots")
2.2. While has_nots is not zero,
2.2.1. Pick a random row and two different cells in that row and the current vertical chute.
2.2.2. If swapping the values in those cells reduces has_nots, commit the operation and update cols_has and has_nots.

I found that it took fewer swaps (roughly half as many) to do the blocks stage than to do the columns stage, so that makes me think that starting with valid rows or columns instead of starting with valid blocks is faster, although I'm not sure why that would be true on a theoretical level.

If this does result in any performance improvement, I think it could be because the working set of variables is smaller at any given time (better cache reuse), and because it's easier to satisfy the block and column validity requirements in a staged manner rather than trying to do both at once. But I should really benchmark before I say words :P

My source code (current commit) for this is here: https://github.com/david-fong/solvent/blob/bb0c3db4f0252f1e86a73d3ec49932453ebf403f/cpp/src/solvent/gen/stochastic.cpp

Running on an i7 machine, I was able to generate 1000 grids of size 100x100 in 44.92 seconds with three threads.

[nono:3]

[edit] typo in the above algorithm description. I also perform the swap if the has_nots value is not changed by the swap. It does not need to strictly decrease.

[1to9only]

This is from a 2018 post:

The grids I used to derive the formula are that what in my program is called "Default Grid".

Code: Select all

 +-------+-------+-------+
 | 1 2 3 | 4 5 6 | 7 8 9 |
 | 4 5 6 | 7 8 9 | 1 2 3 |
 | 7 8 9 | 1 2 3 | 4 5 6 |
 +-------+-------+-------+
 | 2 3 4 | 5 6 7 | 8 9 1 |
 | 5 6 7 | 8 9 1 | 2 3 4 |
 | 8 9 1 | 2 3 4 | 5 6 7 |
 +-------+-------+-------+
 | 3 4 5 | 6 7 8 | 9 1 2 |
 | 6 7 8 | 9 1 2 | 3 4 5 |
 | 9 1 2 | 3 4 5 | 6 7 8 |
 +-------+-------+-------+


I notice that the Default Grid solution grid is also a SudokuP (Disjoint Groups) solution grid.
So the Low Clue sudoku grid from hkociemba1's sudokuNxM program (generated from the Default Grid) will also solve as a SudokuP:

Code: Select all

1234.....4...............56234.....................56734...............5.....5678
+-------+-------+-------+
| 1 2 3 | 4 . . | . . . |
| 4 . . | . . . | . . . |
| . . . | . . . | . 5 6 |
+-------+-------+-------+
| 2 3 4 | . . . | . . . |
| . . . | . . . | . . . |
| . . . | . . . | 5 6 7 |
+-------+-------+-------+
| 3 4 . | . . . | . . . |
| . . . | . . . | . . 5 |
| . . . | . . 5 | 6 7 8 |
+-------+-------+-------+
20 givens, 303 candidates(pencilmarks).


I've not checked, but I'm suspecting all hkociemba1's sudokuNxM Low Clues sudokus are also SudokuPs.