The New Sudoku Players' Forum

[Leren]

Unfortunately I'll have to pass on the non-symmetric squares as they take too long for me to find at the moment.

I did manage to find 2,050,235 symmetric Scrabble-like squares of which the next 2 highest scoring were

Code: Select all

Q U E E R S   Q U E S T S
U N C L E W   U N C L E W
E C Z E M A   E C Z E M A
E L E G I T   S L E E P Y
R E M I X T   T E M P L E
S W A T T Y   S W A Y E D

both scoring 158. There were a total of 107 symmetric Scrabble-like squares with a score in excess of 150.

Fancy the highest scoring square not containing Z or Q - quite counter-intuitive.

Leren

[JPF]

I did manage to find 2,050,235 symmetric Scrabble-like squares of which the next 2 highest scoring were both scoring 158...

I confirm your number 2,050,235.
There are 13,374,916 non-symmetric Scrabble-like squares.

but, what about this symmetric Scrabble-like square scoring 160? -if I am right-

Code: Select all

K E M P E R
E X A R C H
M A Z I L Y
P R I S O N
E C L O S E
R H Y N E S


JPF

[Leren]

Hi JPF,

Fortunately (for me) I just overlooked that 160 scoring square in my results (it was number 968,958), so no bug is indicated (phew!).

Leren

[JPF]

here is a score summary:

Code: Select all

 score      sym.     not sym.          Total                                                   
                                                                                               
    72      1170          424           1594                                                   
    74      1850         2558           4408                                                   
    76      8417        11164          19581                                                   
    78     11981        30612          42593                                                   
    80     32150        76978         109128                                                   
    82     38770       156570         195340                                                   
    84     69741       283026         352767                                                   
    86     79441       439670         519111                                                   
    88    113974       625318         739292                                                   
    90    117303       803122         920425                                                   
    92    141911       963592        1105503                                                   
    94    139599      1078310        1217909                                                   
    96    150299      1137184        1287483                                                   
    98    144041      1141512        1285553                                                   
   100    143649      1097164        1240813                                                   
   102    130352      1017268        1147620                                                   
   104    123707       909414        1033121                                                   
   106    108831       784996         893827                                                   
   108     97882       662198         760080                                                   
   110     83225       536564         619789                                                   
   112     69305       425932         495237                                                   
   114     56021       327862         383883                                                   
   116     44619       248712         293331                                                   
   118     35494       185580         221074                                                   
   120     27699       134776         162475                                                   
   122     21777        96022         117799                                                   
   124     16309        66984          83293                                                   
   126     12142        45750          57892                                                   
   128      8753        30816          39569                                                   
   130      6443        20742          27185                                                   
   132      4407        13324          17731                                                   
   134      3104         8072          11176                                                   
   136      2010         5314           7324                                                   
   138      1417         3188           4605                                                   
   140       954         1812           2766                                                   
   142       588         1130           1718                                                   
   144       370          622            992                                                   
   146       239          334            573                                                   
   148       120          154            274                                                   
   150        64           82            146                                                   
   152        51           36             87                                                   
   154        38           14             52                                                   
   156        14            8             22                                                   
   158         2            4              6                                                   
   160         1            2              3                                                   
   164         1            0              1                                                   
                                                                                               
         2050235     13374916       15425151                                                   
                                         


JPF

[Leren]

Hi JPF,

As you have obviously compiled a database of all 6 letter word squares here's a word square question that might keep you busy: The scrabble distribution of letter scores and quantities is as follows (ignoring blank tiles) :

Code: Select all

1 point: E ×12, A ×9, I ×9, O ×8, N ×6, R ×6, T ×6, L ×4, S ×4, U ×4
2 points: D ×4, G ×3
3 points: B ×2, C ×2, M ×2, P ×2
4 points: F ×2, H ×2, V ×2, W ×2, Y ×2
5 points: K ×1
8 points: J ×1, X ×1
10 points: Q ×1, Z ×1

Suppose you invent a new game (let's call it Scribble) by changing the letter scores around but keeping the letter distribution the same and the score distribution in the range 1-8 + 10. So the set of Scribble-Like word squares is the same as the Scrabble-Like word squares but the scores are different. Is it possible to invent a Scribble game in which the maximum scoring Non-Symmetric word square exceeds the maximum scoring Symmetric word square ?

Leren

[JPF]

summary of previous episodes:
Scrabble like word squares highest scores:

symmetric word squares:

Code: Select all

B E H E S T    K E M P E R   Q U E E R S   Q U E S T S
E X U V I A    E X A R C H   U N C L E W   U N C L E W
H U M E F Y    M A Z I L Y   E C Z E M A   E C Z E M A
E V E J A R    P R I S O N   E L E G I T   S L E E P Y
S I F A K A    E C L O S E   R E M I X T   T E M P L E
T A Y R A S    R H Y N E S   S W A T T Y   S W A Y E D
         
    164            160           158          158


non symmetric word squares:

Code: Select all

B E E Z E R   B H A J I A
H E X A N E   E E V E N S
A V A I L E   E X A R C H
J E R K E D   Z A I K A I
I N C A V E   E N L E V E
A S H I E R   R E E D E R
   
    160           160


I've begun to suspect that there might be a theorem that proves that the highest scoring square will always be symmetric. Of course that might depend on what restriction you put on the squares (eg some quirky effect of the
Scrabble letter limit rules).

The answer is no. It's not a question of maths, but mainly a question of dictionnary.
If for some reason, the words B E H E S T and K E M P E R are not acceptable, then the highest score is a non symmetric word square.

JPF

[Leren]

Hi JPF,

I've confirmed your score summary for the symmetric word squares. That run took just under 2 hours in Visual Basic.

Unless I've overlooked some sort of coding efficiency, checking the non-symmetrics would 1000 - 10000 times longer so I'm passing on that.

Congratulations on finding all the non-symmetrics - that's an amazing achievement.

Leren

[JPF]

Hi Leren,

Thanks.
The algorithm I used was not really efficient either.
I am working now on 7x7 word squares based on a dictionnary of 33274 seven-letter words.

It's a bit longer and I'm not finished yet.

Here are some examples:

Code: Select all

D I S G E S T   W R A P P E D   D E R A T E S
I D I O T C Y   H A M U L A R   O V E R A G E
S I G N I O R   A M A T O R Y   N I T I N O L
G O N D O L A   P U T D O W N   A R I E T T E
E T I O L I N   P L O O K I E   T A N T R I C
S C O L I O N   E A R W I G S   E T A T I S T
T Y R A N N E   D R Y N E S S   S E L E C T S


JPF

[Leren]

Hi JPF, I've made a survey of symmetric scrabble-like 7 x 7 Word squares and I found only 3820. The 2 highest scoring I found were:

Code: Select all

J E E L I E D    W I T C H E D
E X P U N G E    I G A R A P E
E P O C H A S    T A M A R I S
L U C K I L Y    C R A Z I L Y
I N H I B I N    H A R I J A N
E G A L I T E    E P I L A T E
D E S Y N E D    D E S Y N E D

both scoring 188. Are you in a position to confirm/refute these results ?

Leren

[Leren]

I removed the Scrabble letter limitations and found 125,813 symmetric 7 x 7 Word squares. This one has the highest (although "illegal") Scrabble score of 238.

Code: Select all

T R A J E C T
R E L A X E R
A L I Z A R I
J A Z Z B O S
E X A B Y T E
C E R O T I C
T R I S E C T

Leren

[JPF]

Hi Leren,

Congratulations for the results.
I'm not in a position to confirm your numbers yet.
I'm still in the process to get all the 7x7 word squares.
Based on the current calculation speed, it will take 3 to 4 more days.
It appears though that most of them are symmetric.

JPF

[Leren]

While JPF is completing his calculations I started thinking about 6 x 6 and 7 x 7 Scrabble Word squares. These are Word squares that are actually achievable in Scrabble starting from the beginning of a game. Since symmetric Word squares are easier to find I limited my search to these. Symmetric 6 x 6 Scrabble word squares are surprisingly common. I found no less than 55,449 of them. Here is one, showing a sequence of Scrabble moves that will produce it.

Code: Select all

AALIIS  AALIIS  AALIIS  AALIIS  AALIIS  AALIIS  AALIIS  AALIIS
        A       A    A  A    A  A    A  A    A  AGENDA  AGENDA
        L       L    R  L    R  L    R  LEASER  LEASER  LEASER
        I       I    N  I    N  I    N  I    N  I    N  INSPAN
        I       I    E  I    E  IDEATE  IDEATE  IDEATE  IDEATE
        S       S    Y  SARNEY  SARNEY  SARNEY  SARNEY  SARNEY

What about Symmetric 7 x 7 Scrabble Word squares ? I managed to find only 2:

Code: Select all

F L A T C A P    P R E F A B S
L I N E A G E    R E G I N A E
A N A T M A N    E G G L E R S
T E T H E R S    F I L E M O T
C A M E L O T    A N E M O N E
A G A R O S E    B A R O N E T
P E N S T E R    S E S T E T T

A sequence of Scrabble moves to produce the first of these being:

Code: Select all

FLATCAP  FLATCAP  FLATCAP  FLATCAP  FLATCAP  FLATCAP  FLATCAP  FLATCAP  FLATCAP
         L        L     E  L     E  L     E  L     E  LINEAGE  LINEAGE  LINEAGE
         A        A     N  A     N  ANATMAN  ANATMAN  ANATMAN  ANATMAN  ANATMAN
         T        T     S  T     S  T     S  T     S  T     S  T     S  TETHERS
         C        C     T  C     T  C     T  CAMELOT  CAMELOT  CAMELOT  CAMELOT
         A        A     E  A     E  A     E  A     E  A     E  AGAROSE  AGAROSE
         P        P     R  PENSTER  PENSTER  PENSTER  PENSTER  PENSTER  PENSTER

Now that's cool !

Leren

[Leren]

I've carried out a survey of Symmetric 8 x 8 Word squares using a Scrabble dictionary of 40,622 eight letter words. I found 77 of them, none of which was Scrabble-like - the two with the highest letter-score of 222 being:

Code: Select all

C A M O O D I S   R E S P A D E S
A T A B R I N E   E T H E R I S E
M A K E B A T E   S H I P M A T E
O B E L I Z E D   P E P T I Z E D
O R B I T E R S   A R M I G E R S
D I A Z E P A M   D I A Z E P A M
I N T E R A G E   E S T E R A S E
S E E D S M E N   S E E D S M E N


Leren

<Edit>

Extended my search to cover Symmetric 9 x 9 Word squares using a Scrabble dictionary of 41,209 nine letter words and found none !

The following Symmetric 9 x 9 Word square appears in a Wikipedia article:

Code: Select all

A C H A L A S I A
C R E N I D E N S
H E X A N D R I C
A N A B O L I T E
L I N O L E N I N
A D D L E H E A D
S E R I N E T T E
I N I T I A T O R
A S C E N D E R S

but ADDLEHEAD, CRENIDENS, LINOLINEN and HEXANDRIC are not allowed Scrabble words.

Leren

[JPF]

Back to 7x7 word squares.

Here are my results confirming your numbers:

There are 147693 word squares, 125813 symmetrics and 21880 (2x 10940) non-symmetrics.

Scrabble-like: there are a total of 4452 word squares,
3820 are symmetric and 632 are not.

I confirm the maximum score of 188.
Here are the maximum for non symmetrics:

Code: Select all

V A M P I N G   V A M P I N G
A D O R N E R   A D O R N E R
M O Z E T T A   M O Z E T T E
P R E L A T Y   P R E L A T Y
I N T A G L I   I N T A G L I
N E T T L E S   N E T T L E S
G R E Y I S H   G R A Y I S H

     164             164


Note that is bit tricky: there is only one letter which makes the word square non-symmetric G R E Y I S H - G R A Y I S H

There are 6 (2x3) "really non symmetric" word squares, i.e. all letters -except those on the main diagonal- are different of their main diagonal symmetric.

Code: Select all

E S P A D A S   S A C B U T S   S A G B U T S
T E R M I N I   P I L I N U T   P I L I N U T
A M E N T A L   A R E O L A R   A R E O L A R
G A L E T T E   C H A P A T I   C H A P A T I
E T E S I A N   I O N I S E D   I O N I S E D
R I C I E S T   E L E C T R O   E L E C T R O
E C T A S E S   R E D S E A R   R E D S E A R


I will post some puzzles to solve.

JPF

[Leren]

Here is my score summary for symmetric 7 x 7 Word squares.

Hidden Text: Show

Code: Select all

 Scabblelike All
 98     0     68
100     0     46
102     1    217
104     0    272
106     0    642
108     1    608
110    11   1329
112    12   1422
114    49   2534
116    79   2648
118   110   3999
120   119   4010
122   161   5515
124   186   5057
126   181   6590
128   204   6382
130   228   7182
132   249   6495
134   278   6981
136   264   6352
138   228   6280
140   188   5785
142   211   5860
144   182   5155
146   157   4747
148   145   4196
150   132   3842
152   108   3357
154    80   3050
156    80   2651
158    45   2218
160    40   1966
162    23   1607
164    13   1270
166     8   1174
168     6    918
170     6    717
172     2    565
174     7    461
176     3    343
178     3    286
180     4    222
182     1    184
184     7    159
186     6     98
188     2     69
190     0     59
192     0     66
194     0     48
196     0     32
198     0     22
200     0     10
202     0     16
204     0     11
206     0      7
208     0      3
210     0      1
212     0      1
214     0      0
216     0      2
218     0      0
220     0      2
222     0      0
224     0      2
226     0      1
228     0      0
230     0      0
232     0      0
234     0      0
236     0      0
238     0      1
Tot  3820 125813

Leren