The New Sudoku Players' Forum

[P.O.]

not an easy puzzle, at least for me; its simplest path is long enough: 55 chains with a maximum length of 5 + a few basic patterns; the shortest path i found is 4 chains with a maximum length of 9; but i find it interesting in that it first resolution state has no bivalue cells.

Code: Select all

. . .   . . .   . 5 .
4 . .   . . 7   3 . .
. . 5   2 . .   . . 1
7 . .   . . 3   . . .
. . .   . 7 .   8 . .
. . 6   1 . .   . 9 .
3 . .   . 6 .   4 . .
. . 1   . . .   . . 5
. 5 .   9 . .   . 3 .

.......5.4....73....52....17....3.......7.8....61...9.3...6.4....1.....5.5.9...3.

12689    1236789  23789    3468     13489    14689    2679     5        246789           
4        12689    289      568      1589     7        3        268      2689             
689      36789    5        2        3489     4689     679      4678     1                 
7        12489    2489     4568     24589    3        1256     1246     246               
1259     12349    2349     456      7        24569    8        1246     2346             
258      2348     6        1        2458     2458     257      9        2347             
3        2789     2789     578      6        1258     4        1278     2789             
2689     246789   1        3478     2348     248      2679     2678     5                 
268      5        2478     9        1248     1248     1267     3        2678 


[Mauriès Robert]

Hi P.O.,
The puzzle does not have a bivalue cell in rc, but does in rn and cn, for example 5r2c45.
The following (TDP) track (where "->" indicates the order of construction) shows that 5r2c5 can be eliminated, while 5r2c4 is a simple backdoor.
P(5r2c5) : [ 5r2c5->1r2c2->1r5c1->( 5r6c1->5r4c7->1r9c7->1r7c6 )->5r5c6->6r45C4 ]->8r2c4->48b3->7r13c7->7r6c9->3r5c9->3r1c3->3r8c4->7r7c4->... => 5r7 empty => r2c5≠5 => r2c4=5, stte.

puzzle1: Show

It is also possible to solve with a set of two tracks, the interactions are enough to find the solution without finding contradiction as before, like this:
P(5r2c5) : [ 5r2c5->1r2c2->1r5c1->( 5r6c1->5r4c7->1r9c7->1r7c6 )->5r5c6->6r45C4 ]->8r2c4->48b3->7r13c7->7r6c9->...
P(5r2c4) : 5r2c4->5r7c6->1r7c8->1r4c7->5r6c7->7r6c9->...
=> r6c9=7, stte

puzzle2: Show

Robert

[P.O.]

hi Robert, thank you for your solution; i am familiar with the Extended Sudoku Board representation of the four 2D spaces as introduced by Denis in his book HLS and also i read this thread: http://forum.enjoysudoku.com/the-bivalue-conjecture-t38764.html
at the start of this puzzle i counted 24 such 'extended' bivalue cells:

Hidden Text: Show

***BILOCATIONPOOL*** 24:
n° 0
Cluster (((1 1 1) (1 2 6 8 9)) ((5 1 4) (1 2 5 9)))
Binary (((1 0) (1 1 1) (1 2 6 8 9)) ((1 0) (5 1 4) (1 2 5 9)))

n° 1
Cluster (((2 2 1) (1 2 6 8 9)) ((2 5 2) (1 5 8 9)))
Binary (((1 0) (2 2 1) (1 2 6 8 9)) ((1 0) (2 5 2) (1 5 8 9)))

n° 2
Cluster (((7 6 8) (1 2 5 8)) ((7 8 9) (1 2 7)))
Binary (((1 0) (7 6 8) (1 2 5 8)) ((1 0) (7 8 9) (1 2 7)))

n° 3
Cluster (((4 7 6) (1 2 5 6)) ((9 7 9) (1 2 6 7)))
Binary (((1 0) (4 7 6) (1 2 5 6)) ((1 0) (9 7 9) (1 2 6 7)))

n° 4
Cluster (((7 8 9) (1 2 7)) ((9 7 9) (1 2 6 7)))
Binary (((1 0) (7 8 9) (1 2 7)) ((1 0) (9 7 9) (1 2 6 7)))

n° 5
Cluster (((3 2 1) (3 6 7 8 9)) ((3 5 2) (3 4 8 9)))
Binary (((3 0) (3 2 1) (3 6 7 8 9)) ((3 0) (3 5 2) (3 4 8 9)))

n° 6
Cluster (((1 3 1) (2 3 7 8 9)) ((5 3 4) (2 3 4 9)))
Binary (((3 0) (1 3 1) (2 3 7 8 9)) ((3 0) (5 3 4) (2 3 4 9)))

n° 7
Cluster (((1 4 2) (3 4 6 8)) ((8 4 8) (3 4 7 8)))
Binary (((3 0) (1 4 2) (3 4 6 8)) ((3 0) (8 4 8) (3 4 7 8)))

n° 8
Cluster (((6 2 4) (2 3 4 8)) ((6 9 6) (2 3 4 7)))
Binary (((3 0) (6 2 4) (2 3 4 8)) ((3 0) (6 9 6) (2 3 4 7)))

n° 9
Cluster (((5 9 6) (2 3 4 6)) ((6 9 6) (2 3 4 7)))
Binary (((3 0) (5 9 6) (2 3 4 6)) ((3 0) (6 9 6) (2 3 4 7)))

n° 10
Cluster (((8 4 8) (3 4 7 8)) ((8 5 8) (2 3 4 8)))
Binary (((3 0) (8 4 8) (3 4 7 8)) ((3 0) (8 5 8) (2 3 4 8)))

n° 11
Cluster (((1 9 3) (2 4 6 7 9)) ((3 8 3) (4 6 7 8)))
Binary (((4 0) (1 9 3) (2 4 6 7 9)) ((4 0) (3 8 3) (4 6 7 8)))

n° 12
Cluster (((8 2 7) (2 4 6 7 8 9)) ((9 3 7) (2 4 7)))
Binary (((4 0) (8 2 7) (2 4 6 7 8 9)) ((4 0) (9 3 7) (2 4 7)))

n° 13
Cluster (((5 1 4) (1 2 5 9)) ((6 1 4) (2 5 8)))
Binary (((5 0) (5 1 4) (1 2 5 9)) ((5 0) (6 1 4) (2 5 8)))

n° 14
Cluster (((2 4 2) (5 6 8)) ((2 5 2) (1 5 8 9)))
Binary (((5 0) (2 4 2) (5 6 8)) ((5 0) (2 5 2) (1 5 8 9)))

n° 15
Cluster (((4 7 6) (1 2 5 6)) ((6 7 6) (2 5 7)))
Binary (((5 0) (4 7 6) (1 2 5 6)) ((5 0) (6 7 6) (2 5 7)))

n° 16
Cluster (((7 4 8) (5 7 8)) ((7 6 8) (1 2 5 8)))
Binary (((5 0) (7 4 8) (5 7 8)) ((5 0) (7 6 8) (1 2 5 8)))

n° 17
Cluster (((9 1 7) (2 6)) ((9 7 9) (1 2 6 7)))
Binary (((6 0) (9 1 7) (2 6)) ((6 0) (9 7 9) (1 2 6 7)))

n° 18
Cluster (((7 4 8) (5 7 8)) ((8 4 8) (3 4 7 8)))
Binary (((7 0) (7 4 8) (5 7 8)) ((7 0) (8 4 8) (3 4 7 8)))

n° 19
Cluster (((6 7 6) (2 5 7)) ((6 9 6) (2 3 4 7)))
Binary (((7 0) (6 7 6) (2 5 7)) ((7 0) (6 9 6) (2 3 4 7)))

n° 20
Cluster (((9 3 7) (2 4 7)) ((9 7 9) (1 2 6 7)))
Binary (((7 0) (9 3 7) (2 4 7)) ((7 0) (9 7 9) (1 2 6 7)))

n° 21
Cluster (((2 8 3) (2 6 8)) ((3 8 3) (4 6 7 8)))
Binary (((8 0) (2 8 3) (2 6 8)) ((8 0) (3 8 3) (4 6 7 8)))

n° 22
Cluster (((4 5 5) (2 4 5 8 9)) ((5 6 5) (2 4 5 6 9)))
Binary (((9 0) (4 5 5) (2 4 5 8 9)) ((9 0) (5 6 5) (2 4 5 6 9)))

n° 23
Cluster (((7 9 9) (2 7 9)) ((8 7 9) (2 6 7 9)))
Binary (((9 0) (7 9 9) (2 7 9)) ((9 0) (8 7 9) (2 6 7 9)))

i also checked for backdoors and antibackdoors, and found:
15 1-AntiBackdoors. all after Singles (S)

Code: Select all

((((1 4 2) (3 4 6 8)) 3 S) (((2 2 1) (1 2 6 8 9)) 1 S) (((2 5 2) (1 5 8 9)) 5 S) (((3 2 1) (3 6 7 8 9)) 3 S) (((4 7 6) (1 2 5 6)) 5 S) (((5 1 4) (1 2 5 9)) 1 S) (((5 3 4) (2 3 4 9)) 3 S) (((6 1 4) (2 5 8)) 5 S) (((6 7 6) (2 5 7)) 7 S) (((6 9 6) (2 3 4 7)) 3 S) (((7 4 8) (5 7 8)) 5 S) (((7 6 8) (1 2 5 8)) 1 S) (((8 4 8) (3 4 7 8)) 7 S) (((8 5 8) (2 3 4 8)) 3 S) (((9 7 9) (1 2 6 7)) 1 S))


29 1-Backdoors. some after Singles + Intersections (Z)

Code: Select all

((((1 1 1) (1 2 6 8 9)) 1 S) (((1 3 1) (2 3 7 8 9)) 3 S) (((1 4 2) (3 4 6 8)) 4 S) (((1 9 3) (2 4 6 7 8 9)) 6 Z) (((2 2 1) (1 2 6 8 9)) 6 S) (((2 4 2) (5 6 8)) 5 S) (((2 5 2) (1 5 8 9)) 1 S) (((3 2 1) (3 6 7 8 9)) 8 S) (((3 5 2) (3 4 8 9)) 3 S) (((3 7 3) (6 7 9)) 7 S) (((4 5 5) (2 4 5 8 9)) 5 S) (((4 7 6) (1 2 5 6)) 1 S) (((4 9 6) (2 4 6)) 4 Z) (((5 1 4) (1 2 5 9)) 5 S) (((5 2 4) (1 2 3 4 9)) 1 S) (((5 3 4) (2 3 4 9)) 4 S) (((5 9 6) (2 3 4 6)) 3 S) (((6 1 4) (2 5 8)) 8 S) (((6 2 4) (2 3 4 8)) 3 S) (((6 7 6) (2 5 7)) 5 S) (((6 9 6) (2 3 4 7)) 7 S) (((7 4 8) (5 7 8)) 7 S) (((7 6 8) (1 2 5 8)) 5 S) (((7 8 9) (1 2 7 8)) 1 S) (((8 4 8) (3 4 7 8)) 3 S) (((8 5 8) (2 3 4 8)) 8 S) (((8 8 9) (2 6 7 8)) 7 S) (((9 6 8) (1 2 4 8)) 1 S) (((9 7 9) (1 2 6 7)) 6 S))


i have two solutions in 4 chains that exploit the pair Backdoor:Antibackdoor n5r2c4:n5r2c5, so it was the weak point of this puzzle as you have found out; i will post one of the two a little later.

[P.O.]

here is my solution:

Code: Select all

c-12689   1236789  23789    3468     13489    14689    2679     5        246789           
 4       b+12689   289     a±568    a1+589    7        3        268      2689             
 689      36789    5        2        3489     4689     679      4678     1                 
 7        12489    2489    e4-×568   24589    3       e12+56    1246     246               
c+1259    12349    2349    d4*×56    7       d24*569   8        1246     2346             
 258      2348     6        1        2458     2458     257      9        2347             
 3        2789     2789    h+578     6       g+1258    4       g-1278    2789             
 2689     246789   1        3478     2348     248      2679     2678     5                 
 268      5        2478     9        1248     1248    f+1267    3        2678   

r2n5{c4 c5} - r2n1{c5 c2} - c1n1{r1 r5} - r5n5{c1 c4c6} - r4n5{c4 c7} - c7n1{r4 r9} - r7n1{c8 c6} - r7n5{c6 c4} => r4c4 r5c4 <> 5

 12689    1236789  23789   g+3468    13489    14689    2679     5        246×789           
 4        12689    289      568      1589     7        3        268      2689             
 689     h+36789   5        2       h-3489    4689    i6*79    i46*78    1                 
 7        12489    2489     468      24589    3       b12+56    1246     246               
 1259     12349    2349     46       7        24569    8        1246     2346             
 258      2348     6        1        2458     2458    a25+7     9       a234±7             
 3        2789     2789    e+578     6       d+1258    4       d-1278    2789             
 2689     246789   1       f347+8    2348     248      2679     2678     5                 
 268      5        2478     9        1248     1248    c+1267    3        2678   

r6n7{c9 c7} - c7n5{r6 r4} - c7n1{r4 r9} - r7n1{c8 c6} - r7n5{c6 c4} - c4n7{r7 r8} - c4n3{r8 r1} - r3n3{c5 c2} - r3n7{c2 c7c8} => r1c9 <> 7

 12689    1236789 d2-3789  c+3468    13489    14689    2679     5       h2+4689             
 4        12689    289     a±56×8    1589     7        3       i26*8    i26*89             
 689      36789    5        2        3489     4689     679     g46+78    1                 
 7        12489    2489     468      24589    3        1256     1246     246               
 1259     12349   d2+349    46       7        24569    8        1246    e2-346             
 258      2348     6        1        2458     2458     257      9       e2+347             
 3        2789     2789    a+578     6        1258     4       g12-78   f2*789             
 2689     246789   1       b34+78    2348     248      2679    g26-78    5                 
 268      5        2478     9        1248     1248     1267     3       f26*78

c4n5{r2 r7} - c4n7{r7 r8} - c4n3{r8 r1} - c3n3{r1 r5} - c9n3{r5 r6} - c9n7{r6 r7r9} - c8n7{r7r8 r3} - b3n4{r3c8 r1c9} - b3n8{r1c9 r2c8r2c9} => r2c4 <> 8

c-12689   1236789  23789    3468     13489    14689    2679     5        24689             
 4       b+12689   289     a±5×6    a1+589    7        3        268      2689             
 689      36789    5        2        3489     4689     679      4678     1                 
 7        12489    2489    e4*68     24589    3        1256     1246     246               
c+1259    12349    2349    e4*6      7       d24+569   8        1246     2346             
 258      2348     6        1        2458     2458     257      9        2347             
 3        2789     2789     578      6        1258     4        1278     2789             
 2689     246789   1        3478     2348     248      2679     2678     5                 
 268      5        2478     9        1248     1248     1267     3        2678

r2n5{c4 c5} - r2n1{c5 c2} - c1n1{r1 r5} - r5n5{c1 c6} - b5n6{r5c6 r4c4r5c4} => r2c4 <> 6
ste.


[Cenoman]

Two AIC steps:

Code: Select all

 +----------------------------+-------------------------+-------------------------+
 |  12689   1236789   23789   | d34-68  13489   14689   |  2679   5      246789   |
 |  4       12689     289     |  568    1589    7       |  3      268    2689     |
 |  689     36789     5       |  2      3489    4689    |  679    4678   1        |
 +----------------------------+-------------------------+-------------------------+
 |  7       12489     2489    | c4568   2589-4  3       | h15-26  1246   246      |
 |  1259    12349     2349    | c456    7       2569-4  |  8      1246   2346     |
 |  258   ia34-28     6       |  1     b2458   b2458    |ia57-2   9    ia347-2    |
 +----------------------------+-------------------------+-------------------------+
 |  3       2789      2789    | e57-8   6      e15-28   |  4     f1278   2789     |
 |  2689    246789    1       | d347-8  2348    248     |  2679   2678   5        |
 |  268     5         2478    |  9      1248    1248    | g1267   3      2678     |
 +----------------------------+-------------------------+-------------------------+

1. (374)r6c279 = r6c56 - r45c4 = (43-7)r18c4 = (75-1)r7c46 = r7c8 - r9c7 = (1-5)r4c7 = (537)r6c279 loop
=>-2 r6c279, -8 r6c2, -4 r4c5, r5c6, -6 r1c4, -8 r18c4, r7c46, -2 r7c6, -26r4c7

Code: Select all

 +----------------------------+-------------------------+-------------------------+
 | d12689   1236789   23789   |  34     13489   14689   | h2679   5      246789   |
 |  4      c12689     289     | a56-8  b1589    7       |  3     h268   h2689     |
 |  689     36789     5       |  2      3489    4689    | h679    4678   1        |
 +----------------------------+-------------------------+-------------------------+
 |  7       12489     2489    |  4568   2589    3       |  15     1246   246      |
 | e1259    12349     2349    |  456    7       2569    |  8      1246   2346     |
 | f258     34        6       |  1      2458    2458    | g57     9      347      |
 +----------------------------+-------------------------+-------------------------+
 |  3       2789      2789    |  57     6       15      |  4      1278   2789     |
 |  2689    246789    1       |  347    2348    248     |  2679   2678   5        |
 |  268     5         2478    |  9      1248    1248    |  1267   3      2678     |
 +----------------------------+-------------------------+-------------------------+

2. (5)r2c4 = (5-1)r2c5 = r2c2 - r1c1 = (1-5)r5c1 = r6c1 - (5=7)r6c7 - (7=2698)b3p1567 => -8 r2c4; ste