## Bands and low-clue puzzles

Everything about Sudoku that doesn't fit in one of the other sections

### Bands and low-clue puzzles

There are 416 essentially different bands.
Creating a valid puzzle, all unavoidable sets (UA) in the solution grid must be hit with at least one clue.
Each of the bands has UA sets located entirely in its 27 cells. Fortunately all these UA have only 2 valid permutations.
So, each valid puzzle must hit all UA of the 6 solution grid's bands, plus all cross-band UA.
The number of UA in each valid solution grid is a huge number and is specific to the grid. The in-band UA are not too much and variety is limited from the limited number of different bands.

Let start with a non-minimal multiple solution puzzle setting all 54 cells within bands 2 and 3 given as clues. The problem is to find the minimal amount of the clues within the rest 27 cells.
Code: Select all
`+-----+-----+-----+|. . .|. . .|. . .|  # non-givens|. . .|. . .|. . .||. . .|. . .|. . .|+-----+-----+-----+|x x x|x x x|x x x|  # givens|x x x|x x x|x x x||x x x|x x x|x x x|+-----+-----+-----+|x x x|x x x|x x x||x x x|x x x|x x x||x x x|x x x|x x x|+-----+-----+-----+`

This simplification eliminates all UA but those within band 1. Also the clues we are searching for depend only from band 1 (one from 416) and not from the specific completion.
Solving such pseudo-puzzles we can find for all 416 bands:
- the number of solutions (column "Sol" in the table below);
- all minimal UA sets within the band (column "UA" is the number of UA);
- the minimal number of the additional clues required to hit all in-band UA (MinClues);
- all valid permutations of N additional clues that hit all UA, for some reasonable small N (54+N).
Code: Select all
`Band    Sol     UA   MinClues  54+2    54+3     54+4    54+5    54+6    54+7    BF7     In17    BF17    BF17/7  1       1728    27      6       0       0       0       0       729     17496   0.04    13      0.02    0.489   2       576     33      5       0       0       0       324     10179   107406  0.24    412     0.62    2.526   3       192     63      4       0       0       108     4194    41895   260689  0.59    285     0.43    0.720   4       864     21      5       0       0       0       252     7977    91579   0.21    129     0.19    0.928   5       192     55      4       0       0       108     5328    55883   381253  0.87    1054    1.58    1.820   6       288     27      4       0       0       101     4354    47881   346825  0.79    2250    3.37    4.272   7       192     35      3       0       6       912     15274   120750  736608  1.68    418     0.63    0.374   8       516     15      5       0       0       0       1107    22952   221705  0.50    78      0.12    0.232   9       864     31      4       0       0       54      2664    34263   233862  0.53    291     0.44    0.819   10      288     33      4       0       0       92      4054    46351   316983  0.72    1232    1.85    2.559   11      288     53      3       0       12      960     13192   88853   535487  1.22    1798    2.69    2.211   12      228     21      4       0       0       224     5935    61867   472411  1.07    1506    2.26    2.099   13      228     25      4       0       0       312     8028    75284   518732  1.18    494     0.74    0.627   14      168     29      4       0       0       462     9778    85113   583989  1.33    1450    2.17    1.635   15      276     27      4       0       0       415     9387    79647   597967  1.36    1684    2.52    1.854   16      120     15      5       0       0       0       972     20641   189421  0.43    25      0.04    0.08717      192     41      3       0       72      2694    23527   159902  1024372 2.33    690     1.03    0.44418      192     55      4       0       0       108     5166    55112   384903  0.88    959     1.44    1.64119      192     51      4       0       0       189     7326    67765   371705  0.85    1210    1.81    2.14420      288     59      3       0       21      1359    17286   117162  724311  1.65    3330    4.99    3.02721      192     55      4       0       0       108     5166    54316   344907  0.78    1127    1.69    2.15222      168     41      3       0       5       1062    16972   117373  744199  1.69    3139    4.70    2.77823      144     30      4       0       0       520     11338   91307   610253  1.39    1232    1.85    1.32924      168     41      3       0       5       1062    17028   117384  743366  1.69    3237    4.85    2.86725      276     47      3       0       30      1772    21288   163331  1034043 2.35    1818    2.72    1.15826      228     53      3       0       110     3165    26847   236927  1452984 3.30    2061    3.09    0.93427      96      56      4       0       0       1053    20029   135601  883221  2.01    137     0.21    0.10228      144     52      3       0       38      1987    23238   142501  875244  1.99    1590    2.38    1.19629      516     81      2       9       543     6758    45132   258360  1063414 2.42    286     0.43    0.17730      96      56      4       0       0       1053    20067   131888  848535  1.93    151     0.23    0.11731      228     63      3       0       64      3407    36798   251688  1326145 3.02    749     1.12    0.37232      192     11      5       0       0       0       546     11851   103634  0.24    124     0.19    0.78833      288     15      5       0       0       0       63      3723    48568   0.11    110     0.16    1.49134      192     15      4       0       0       200     4976    47232   362371  0.82    493     0.74    0.89635      288     19      4       0       0       38      2012    22797   170257  0.39    355     0.53    1.37336      276     17      4       0       0       39      2389    29560   228094  0.52    198     0.30    0.57237      276     16      4       0       0       273     5359    47641   356989  0.81    433     0.65    0.79938      180     14      4       0       0       182     4653    43864   336284  0.76    555     0.83    1.08739      264     16      4       0       0       22      1592    21573   182921  0.42    354     0.53    1.27440      180     24      3       0       3       656     11043   86216   586161  1.33    747     1.12    0.83941      264     16      4       0       0       74      4058    44734   299811  0.68    365     0.55    0.80242      288     17      4       0       0       126     3592    36014   255826  0.58    337     0.50    0.86743      288     18      4       0       0       145     3903    34938   229335  0.52    514     0.77    1.47644      168     17      4       0       0       34      2410    29318   210942  0.48    278     0.42    0.86845      288     15      5       0       0       0       90      4902    60141   0.14    82      0.12    0.89846      168     13      4       0       0       37      1822    20906   175135  0.40    259     0.39    0.97447      288     23      4       0       0       29      1829    25396   184170  0.42    307     0.46    1.09848      288     15      5       0       0       0       63      3723    46430   0.11    157     0.24    2.22749      288     19      4       0       0       38      2012    22689   170514  0.39    327     0.49    1.26350      156     31      3       0       3       737     11998   91726   608049  1.38    804     1.20    0.87151      168     16      4       0       0       35      2252    29904   225022  0.51    435     0.65    1.27352      156     14      4       0       0       95      4070    42351   300960  0.68    503     0.75    1.10153      168     29      4       0       0       267     7535    65102   428968  0.98    344     0.52    0.52854      288     11      5       0       0       0       378     9407    94815   0.22    96      0.14    0.66755      288     18      4       0       0       161     5035    43556   271002  0.62    555     0.83    1.34956      168     30      3       0       2       555     9686    74369   474611  1.08    845     1.27    1.17257      288     22      4       0       0       56      2441    30383   231602  0.53    423     0.63    1.20358      168     17      4       0       0       40      2690    31498   241326  0.55    378     0.57    1.03159      288     20      4       0       0       29      1865    24619   203105  0.46    323     0.48    1.04760      288     21      4       0       0       65      3020    35444   253833  0.58    680     1.02    1.76461      180     22      4       0       0       304     7036    65832   471352  1.07    855     1.28    1.19462      288     20      4       0       0       29      1865    24727   201610  0.46    366     0.55    1.19563      180     17      4       0       0       187     4270    41681   335005  0.76    529     0.79    1.04064      228     19      4       0       0       195     5094    51288   391839  0.89    524     0.78    0.88165      228     26      3       0       7       661     10051   87642   645733  1.47    871     1.30    0.88866      168     17      4       0       0       34      2410    29479   215230  0.49    351     0.53    1.07467      288     15      5       0       0       0       90      4902    59984   0.14    99      0.15    1.08768      168     30      3       0       2       555     9697    74781   465200  1.06    697     1.04    0.98769      168     15      4       0       0       41      2448    30690   228088  0.52    349     0.52    1.00870      168     29      4       0       0       349     8134    68263   442845  1.01    753     1.13    1.12071      228     15      4       0       0       122     3238    28838   226575  0.52    186     0.28    0.54172      288     11      5       0       0       0       312     7929    79187   0.18    257     0.38    2.13773      228     18      4       0       0       166     5006    43738   274527  0.62    536     0.80    1.28674      276     9       5       0       0       0       490     10393   91816   0.21    156     0.23    1.11975      276     16      4       0       0       88      3428    30659   201843  0.46    144     0.22    0.47076      228     15      4       0       0       79      3671    40068   301247  0.69    479     0.72    1.04777      228     17      4       0       0       45      2765    34491   252665  0.57    604     0.90    1.57478      228     15      4       0       0       90      3533    36870   281733  0.64    493     0.74    1.15279      264     16      4       0       0       51      3440    40611   292579  0.67    587     0.88    1.32180      288     19      4       0       0       146     4632    39196   259898  0.59    528     0.79    1.33881      288     16      4       0       0       110     3142    27891   222431  0.51    497     0.74    1.47182      288     16      4       0       0       122     3091    27558   220649  0.50    388     0.58    1.15883      516     9       5       0       0       0       301     6427    62715   0.14    93      0.14    0.97684      516     11      5       0       0       0       527     11425   97548   0.22    76      0.11    0.51385      216     16      4       0       0       254     6705    61028   411256  0.94    787     1.18    1.26086      276     16      4       0       0       159     4132    42618   305664  0.70    634     0.95    1.36687      216     14      4       0       0       53      2736    32029   259150  0.59    377     0.56    0.95888      168     16      4       0       0       17      1902    28010   218112  0.50    361     0.54    1.09089      192     31      3       0       3       636     9676    76643   514925  1.17    758     1.14    0.96990      288     22      4       0       0       56      2441    29269   224980  0.51    421     0.63    1.23291      192     18      4       0       0       32      2603    32367   235305  0.54    360     0.54    1.00792      264     16      4       0       0       14      1563    24016   203319  0.46    284     0.43    0.92093      276     9       5       0       0       0       410     8796    85880   0.20    173     0.26    1.32694      216     13      4       0       0       64      2691    29766   237553  0.54    274     0.41    0.76095      228     13      4       0       0       139     3027    31245   238409  0.54    393     0.59    1.08596      180     16      4       0       0       59      3565    40470   311357  0.71    550     0.82    1.16397      228     12      4       0       0       80      3101    32795   261912  0.60    130     0.19    0.32798      228     15      4       0       0       122     3216    28799   210956  0.48    129     0.19    0.40399      180     16      4       0       0       46      2897    34666   252071  0.57    569     0.85    1.486100     288     10      5       0       0       0       300     6848    63160   0.14    134     0.20    1.397101     192     13      5       0       0       0       78      4681    55693   0.13    62      0.09    0.733102     192     16      4       0       0       61      3006    32675   253046  0.58    348     0.52    0.906103     156     14      4       0       0       59      3121    34526   266204  0.61    380     0.57    0.940104     192     12      5       0       0       0       168     6428    69637   0.16    14      0.02    0.132105     288     10      5       0       0       0       258     6050    62778   0.14    80      0.12    0.839106     276     16      4       0       0       196     5418    49669   353801  0.80    578     0.87    1.076107     192     27      3       0       10      889     11844   92071   637172  1.45    828     1.24    0.856108     168     17      4       0       0       40      2690    32257   237902  0.54    376     0.56    1.041109     288     12      5       0       0       0       499     12460   113898  0.26    258     0.39    1.492110     168     17      4       0       0       40      2690    32343   245609  0.56    364     0.55    0.976111     276     16      4       0       0       120     3521    37592   258768  0.59    509     0.76    1.295112     168     17      4       0       0       34      2410    29243   212759  0.48    349     0.52    1.080113     216     12      4       0       0       182     4004    39406   300779  0.68    584     0.87    1.279114     228     12      4       0       0       80      3101    32477   253149  0.58    189     0.28    0.492115     180     10      5       0       0       0       543     12040   111128  0.25    259     0.39    1.535116     228     9       5       0       0       0       421     8831    83965   0.19    224     0.34    1.757117     288     19      4       0       0       210     6625    64110   479612  1.09    958     1.43    1.315118     180     30      3       0       7       803     11476   83861   597383  1.36    1103    1.65    1.216119     192     15      4       0       0       16      1765    23357   177600  0.40    267     0.40    0.990120     192     27      3       0       10      998     12416   94119   657702  1.50    669     1.00    0.670121     156     18      4       0       0       325     7374    66836   475501  1.08    1154    1.73    1.598122     288     11      5       0       0       0       374     9244    85661   0.19    94      0.14    0.723123     192     15      4       0       0       200     4980    44517   347201  0.79    461     0.69    0.874124     168     13      4       0       0       37      1822    21054   176108  0.40    132     0.20    0.494125     168     30      3       0       2       555     9476    75390   480178  1.09    913     1.37    1.252126     228     15      4       0       0       90      3533    37695   281976  0.64    594     0.89    1.387127     288     23      4       0       0       29      1829    23850   179294  0.41    355     0.53    1.304128     168     28      4       0       0       280     6953    61822   409399  0.93    494     0.74    0.795129     276     16      4       0       0       88      3428    30209   195484  0.44    131     0.20    0.441130     228     26      3       0       7       661     10201   81765   583184  1.33    1047    1.57    1.182131     264     15      4       0       0       39      2575    29767   229019  0.52    314     0.47    0.903132     288     16      4       0       0       87      3144    30638   218799  0.50    291     0.44    0.876133     516     11      5       0       0       0       309     7054    67568   0.15    9       0.01    0.088134     276     19      4       0       0       379     8032    72714   509083  1.16    913     1.37    1.181135     288     19      4       0       0       38      2012    22841   191177  0.43    328     0.49    1.130136     288     19      4       0       0       38      2012    22797   172529  0.39    324     0.49    1.237137     264     15      4       0       0       35      1954    23389   181889  0.41    104     0.16    0.377138     288     21      4       0       0       65      3020    36574   257241  0.59    849     1.27    2.173139     168     26      4       0       0       360     8422    70185   447080  1.02    493     0.74    0.726140     276     11      5       0       0       0       326     8130    83342   0.19    225     0.34    1.778141     276     17      4       0       0       174     5177    47505   326223  0.74    559     0.84    1.128142     168     28      4       0       0       513     10056   78006   485106  1.10    322     0.48    0.437143     192     32      3       0       13      1078    14019   98407   535684  1.22    733     1.10    0.901144     144     27      4       0       0       266     7271    62534   425027  0.97    225     0.34    0.349145     168     33      4       0       0       694     13364   100736  555065  1.26    894     1.34    1.061146     144     30      4       0       0       340     8978    81031   546965  1.24    577     0.86    0.695147     192     33      3       0       4       727     10671   82917   522104  1.19    521     0.78    0.657148     192     17      4       0       0       22      2190    27141   213745  0.49    150     0.22    0.462149     288     31      4       0       0       42      2412    30462   212986  0.48    143     0.21    0.442150     168     28      4       0       0       513     10041   78300   486640  1.11    514     0.77    0.696151     288     23      4       0       0       33      2697    32683   237740  0.54    334     0.50    0.925152     288     19      4       0       0       20      1205    16554   142165  0.32    238     0.36    1.102153     156     24      4       0       0       440     10045   87170   567239  1.29    889     1.33    1.032154     168     32      4       0       0       477     11257   92113   535596  1.22    744     1.11    0.915155     156     29      4       0       0       1032    17024   128991  716836  1.63    1239    1.86    1.138156     168     23      4       0       0       388     8481    71978   452669  1.03    597     0.89    0.868157     288     18      4       0       0       221     6337    60866   462908  1.05    763     1.14    1.085158     144     23      4       0       0       314     7341    65664   444925  1.01    422     0.63    0.625159     192     50      4       0       0       336     8211    75728   484470  1.10    557     0.83    0.757160     192     22      5       0       0       0       1131    21291   163632  0.37    278     0.42    1.119161     228     17      4       0       0       185     5159    53151   398216  0.91    625     0.94    1.034162     144     30      3       0       5       1004    14780   112969  706682  1.61    884     1.32    0.824163     228     17      4       0       0       185     5159    53246   401111  0.91    631     0.95    1.036164     144     26      4       0       0       246     7821    67490   413020  0.94    490     0.73    0.781165     180     29      3       0       21      1624    20169   142762  755494  1.72    1174    1.76    1.023166     180     24      4       0       0       464     9947    83113   501820  1.14    692     1.04    0.908167     168     17      4       0       0       62      3556    39076   279146  0.63    316     0.47    0.745168     228     29      3       0       14      1099    15714   113030  589540  1.34    1530    2.29    1.709169     168     30      3       0       4       766     13758   100116  548470  1.25    1203    1.80    1.444170     156     30      3       0       11      1110    16446   124865  719932  1.64    1289    1.93    1.179171     216     14      4       0       0       28      1755    22702   178467  0.41    382     0.57    1.409172     216     16      4       0       0       192     5725    54327   360888  0.82    552     0.83    1.007173     180     23      4       0       0       573     10162   86116   658592  1.50    720     1.08    0.720174     216     14      4       0       0       229     5001    46509   349891  0.80    383     0.57    0.721175     168     17      4       0       0       62      3556    38397   263117  0.60    297     0.44    0.743176     168     39      3       0       21      1488    18392   128644  685512  1.56    1082    1.62    1.039177     168     30      3       0       4       766     13731   100095  543643  1.24    1253    1.88    1.518178     168     26      4       0       0       484     10459   87108   492180  1.12    1023    1.53    1.369179     168     30      4       0       0       639     13011   100366  547835  1.25    1146    1.72    1.377180     180     33      3       0       3       813     12860   90807   523488  1.19    779     1.17    0.980181     180     27      3       0       7       741     10684   85711   590741  1.34    787     1.18    0.877182     276     15      4       0       0       108     3509    37615   273933  0.62    388     0.58    0.933183     276     11      5       0       0       0       244     6740    71605   0.16    144     0.22    1.324184     276     25      3       0       13      832     11029   90995   536490  1.22    945     1.42    1.160185     180     34      3       0       6       868     13974   104161  655735  1.49    1266    1.90    1.271186     180     20      4       0       0       75      3979    47603   366912  0.83    700     1.05    1.256187     228     16      4       0       0       70      2516    23591   186668  0.42    454     0.68    1.602188     228     14      4       0       0       110     3726    40022   317993  0.72    409     0.61    0.847189     180     16      4       0       0       63      3091    34537   282186  0.64    356     0.53    0.831190     168     24      4       0       0       481     9421    74788   468599  1.07    214     0.32    0.301191     180     16      4       0       0       157     4578    44326   326097  0.74    407     0.61    0.822192     288     16      4       0       0       74      2533    23145   185331  0.42    385     0.58    1.368193     264     15      4       0       0       37      2195    25806   201357  0.46    259     0.39    0.847194     156     25      4       0       0       731     12303   89141   538625  1.23    611     0.92    0.747195     228     14      4       0       0       110     3726    36688   251530  0.57    381     0.57    0.997196     276     13      4       0       0       44      2020    21077   167341  0.38    399     0.60    1.570197     216     26      3       0       9       699     10533   86209   543747  1.24    978     1.46    1.184198     156     14      4       0       0       94      4318    46980   339630  0.77    728     1.09    1.411199     156     26      3       0       7       1089    16498   115061  634121  1.44    1324    1.98    1.375200     180     29      3       0       3       760     13455   102433  599933  1.36    1180    1.77    1.295201     180     32      3       0       25      1578    18834   128923  712227  1.62    1355    2.03    1.253202     180     16      4       0       0       59      3326    39764   291369  0.66    653     0.98    1.476203     180     18      4       0       0       190     5613    56115   376209  0.86    781     1.17    1.367204     168     20      4       0       0       321     7500    68662   488940  1.11    629     0.94    0.847205     168     25      4       0       0       360     7998    71096   483451  1.10    655     0.98    0.892206     168     32      3       0       15      1197    16620   127687  707538  1.61    1492    2.23    1.389207     156     29      3       0       3       835     14867   113776  671631  1.53    1338    2.00    1.312208     156     22      4       0       0       417     9155    79413   513173  1.17    552     0.83    0.708209     120     28      4       0       0       953     16154   122029  679945  1.55    1307    1.96    1.266210     192     26      3       0       12      1038    13012   91359   520387  1.18    517     0.77    0.654211     120     32      3       0       4       1231    18330   127685  673827  1.53    1568    2.35    1.532212     192     28      3       0       4       788     12781   99319   586828  1.33    1211    1.81    1.359213     192     17      4       0       0       34      2068    27499   199422  0.45    143     0.21    0.472214     168     15      4       0       0       110     3634    33809   249184  0.57    208     0.31    0.550215     144     34      4       0       0       447     10679   92358   588041  1.34    1078    1.61    1.207216     192     39      4       0       0       399     9635    75935   405325  0.92    996     1.49    1.618217     192     23      5       0       0       0       1275    21432   161470  0.37    289     0.43    1.179218     288     19      4       0       0       20      1205    14879   124127  0.28    207     0.31    1.098219     516     11      5       0       0       0       177     4497    48340   0.11    86      0.13    1.172220     516     9       5       0       0       0       485     10127   94312   0.21    238     0.36    1.662221     276     16      4       0       0       78      2850    29042   222378  0.51    485     0.73    1.436222     288     22      4       0       0       20      1511    21395   177460  0.40    404     0.61    1.499223     516     9       5       0       0       0       529     10847   102200  0.23    297     0.44    1.914224     864     17      6       0       0       0       0       162     6480    0.01    8       0.01    0.813225     864     17      5       0       0       0       90      3540    43428   0.10    163     0.24    2.472226     288     19      4       0       0       20      1205    14879   121129  0.28    224     0.34    1.218227     216     16      4       0       0       94      3182    33079   245063  0.56    535     0.80    1.438228     276     13      4       0       0       44      2020    21568   174563  0.40    308     0.46    1.162229     288     22      4       0       0       20      1511    19733   157146  0.36    450     0.67    1.886230     288     19      4       0       0       20      1205    16554   140309  0.32    220     0.33    1.033231     216     14      4       0       0       74      2747    30111   232045  0.53    630     0.94    1.788232     216     9       5       0       0       0       539     11652   108640  0.25    285     0.43    1.727233     276     11      5       0       0       0       540     11416   110118  0.25    269     0.40    1.609234     276     16      4       0       0       78      2850    28546   223418  0.51    582     0.87    1.715235     228     16      4       0       0       114     3268    34367   239100  0.54    278     0.42    0.766236     288     19      4       0       0       113     3544    35959   244786  0.56    1057    1.58    2.843237     288     11      6       0       0       0       0       606     14930   0.03    31      0.05    1.367238     288     11      5       0       0       0       331     7672    72566   0.17    161     0.24    1.461239     288     15      4       0       0       84      2677    28090   200030  0.45    434     0.65    1.429240     228     9       5       0       0       0       213     4558    47544   0.11    12      0.02    0.166241     516     13      5       0       0       0       777     17018   156147  0.36    176     0.26    0.742242     288     23      4       0       0       33      2697    34679   253583  0.58    423     0.63    1.098243     264     17      4       0       0       84      4377    51042   367343  0.84    747     1.12    1.339244     192     41      4       0       0       264     6569    55897   326581  0.74    687     1.03    1.385245     264     16      4       0       0       14      1836    26831   217159  0.49    138     0.21    0.418246     288     23      4       0       0       33      2697    32996   249722  0.57    432     0.65    1.139247     864     19      5       0       0       0       108     5490    72468   0.16    132     0.20    1.199248     180     32      3       0       6       856     13614   102956  648507  1.47    1236    1.85    1.255249     288     27      4       0       0       60      3759    45018   286410  0.65    821     1.23    1.888250     228     16      4       0       0       94      3827    42619   328103  0.75    269     0.40    0.540251     192     43      4       0       0       300     7164    58398   386408  0.88    317     0.47    0.540252     576     25      5       0       0       0       864     17568   160965  0.37    265     0.40    1.084253     192     21      5       0       0       0       852     16388   135373  0.31    83      0.12    0.404254     576     19      6       0       0       0       0       2133    37806   0.09    16      0.02    0.279255     192     39      4       0       0       228     5989    58303   397284  0.90    250     0.37    0.414256     192     17      5       0       0       0       1626    28241   209253  0.48    222     0.33    0.699257     288     22      4       0       0       301     7567    72797   524494  1.19    1004    1.50    1.261258     192     39      4       0       0       417     9639    74158   414850  0.94    973     1.46    1.544259     288     13      5       0       0       0       692     15050   141320  0.32    184     0.28    0.857260     192     23      5       0       0       0       1275    21354   159938  0.36    314     0.47    1.293261     156     19      4       0       0       388     9157    82661   525066  1.19    985     1.48    1.235262     156     26      4       0       0       545     11515   90541   537600  1.22    905     1.36    1.109263     276     23      4       0       0       407     9298    82136   548114  1.25    1290    1.93    1.550264     228     18      4       0       0       165     4921    52137   389936  0.89    841     1.26    1.420265     156     25      3       0       5       869     13105   98204   613119  1.39    1206    1.81    1.295266     216     15      4       0       0       191     4757    47939   314604  0.72    699     1.05    1.463267     216     16      4       0       0       225     5624    53268   397842  0.90    707     1.06    1.170268     228     18      4       0       0       165     4997    52165   379046  0.86    851     1.27    1.478269     288     27      4       0       0       60      3759    47587   334253  0.76    873     1.31    1.720270     180     29      3       0       3       733     12793   103748  692941  1.58    1060    1.59    1.007271     180     17      4       0       0       273     6370    56051   399605  0.91    786     1.18    1.295272     276     17      4       0       0       152     4373    46769   316351  0.72    804     1.20    1.674273     288     41      3       0       54      2024    18611   128768  761337  1.73    876     1.31    0.758274     288     23      4       0       0       286     7301    71806   489184  1.11    572     0.86    0.770275     288     19      4       0       0       178     4809    46071   312285  0.71    251     0.38    0.529276     168     31      3       0       16      1346    16075   118554  747977  1.70    617     0.92    0.543277     168     25      4       0       0       348     8756    77366   500700  1.14    701     1.05    0.922278     288     19      4       0       0       178     5806    52265   347439  0.79    759     1.14    1.439279     192     29      3       0       2       648     11290   87084   576036  1.31    548     0.82    0.626280     144     17      4       0       0       92      5030    55060   369227  0.84    429     0.64    0.765281     144     25      4       0       0       460     9751    81645   495237  1.13    280     0.42    0.372282     288     23      4       0       0       33      2697    32395   235671  0.54    592     0.89    1.654283     156     16      4       0       0       268     6349    61369   445045  1.01    798     1.20    1.181284     228     16      4       0       0       94      3827    42302   319082  0.73    391     0.59    0.807285     192     35      3       0       8       934     12340   93644   609328  1.39    714     1.07    0.772286     144     15      4       0       0       80      4116    46550   322633  0.73    462     0.69    0.943287     192     15      4       0       0       42      2498    30970   241037  0.55    173     0.26    0.473288     144     29      4       0       0       400     9298    75923   451055  1.03    371     0.56    0.542289     192     13      5       0       0       0       156     7486    85681   0.19    41      0.06    0.315290     192     15      4       0       0       96      4848    50042   392656  0.89    531     0.80    0.891291     264     17      4       0       0       60      3737    45795   364798  0.83    785     1.18    1.417292     192     41      4       0       0       264     6527    62539   420878  0.96    787     1.18    1.231293     264     16      4       0       0       38      2168    28571   221547  0.50    457     0.68    1.358294     192     22      5       0       0       0       1131    21165   162900  0.37    331     0.50    1.338295     264     14      4       0       0       62      3374    40208   307716  0.70    501     0.75    1.072296     180     30      3       0       18      1407    16449   118631  764121  1.74    1420    2.13    1.224297     216     18      4       0       0       358     8397    76682   508108  1.16    1134    1.70    1.470298     216     16      4       0       0       130     4006    41408   292587  0.67    231     0.35    0.520299     156     19      4       0       0       356     8409    74389   498713  1.13    1308    1.96    1.727300     192     39      4       0       0       417     9598    81885   517471  1.18    1145    1.71    1.457301     156     29      4       0       0       537     11343   92433   567041  1.29    1148    1.72    1.333302     168     11      5       0       0       0       594     13660   122148  0.28    73      0.11    0.394303     288     21      4       0       0       128     4243    41308   265847  0.60    298     0.45    0.738304     192     39      4       0       0       228     5989    58346   396310  0.90    383     0.57    0.636305     576     25      5       0       0       0       864     17568   159958  0.36    298     0.45    1.227306     192     17      5       0       0       0       1626    28128   208247  0.47    286     0.43    0.904307     576     19      6       0       0       0       0       2133    36738   0.08    21      0.03    0.376308     192     43      4       0       0       300     7164    58359   385191  0.88    268     0.40    0.458309     192     21      5       0       0       0       852     16348   135814  0.31    103     0.15    0.499310     276     25      4       0       0       261     5627    49797   351377  0.80    274     0.41    0.513311     180     26      3       0       12      1119    14931   109094  616683  1.40    1187    1.78    1.267312     168     32      4       0       0       504     11905   98188   591348  1.34    1042    1.56    1.160313     180     29      3       0       7       787     11777   85404   490499  1.12    642     0.96    0.862314     288     31      4       0       0       42      2412    30684   215116  0.49    201     0.30    0.615315     228     31      3       0       13      1204    17421   130509  721533  1.64    1309    1.96    1.195316     144     28      3       0       14      1124    14467   105710  610251  1.39    976     1.46    1.053317     192     39      4       0       0       399     9519    83354   525233  1.19    1052    1.58    1.319318     144     34      4       0       0       447     10679   92786   588456  1.34    818     1.23    0.915319     288     45      3       0       69      2254    19786   127494  712916  1.62    1250    1.87    1.155320     192     37      4       0       0       507     10794   87858   507201  1.15    1014    1.52    1.316321     156     34      3       0       22      1624    20132   145972  773428  1.76    1184    1.77    1.008322     156     31      4       0       0       858     15394   121320  669103  1.52    1139    1.71    1.121323     144     27      4       0       0       218     7630    71126   483569  1.10    703     1.05    0.957324     288     21      4       0       0       42      3519    40867   313276  0.71    626     0.94    1.316325     168     29      4       0       0       391     10029   84194   535032  1.22    676     1.01    0.832326     168     24      4       0       0       481     9413    75135   472735  1.08    714     1.07    0.995327     288     21      4       0       0       42      3519    41027   315316  0.72    662     0.99    1.382328     276     37      3       0       19      1261    16391   118483  648732  1.48    1033    1.55    1.049329     216     25      4       0       0       686     12709   98797   560555  1.27    1006    1.51    1.182330     192     34      3       0       3       717     10795   82977   516118  1.17    764     1.14    0.975331     192     39      4       0       0       336     8400    70175   469761  1.07    770     1.15    1.079332     144     27      4       0       0       317     8650    77421   493434  1.12    616     0.92    0.822333     156     26      3       0       2       792     13982   107608  628478  1.43    1204    1.80    1.262334     192     27      3       0       8       980     12422   93849   651507  1.48    563     0.84    0.569335     144     27      4       0       0       218     7627    70001   464857  1.06    772     1.16    1.094336     144     23      4       0       0       314     7389    65334   435651  0.99    386     0.58    0.583337     192     39      4       0       0       336     8400    68527   432772  0.98    797     1.19    1.213338     168     32      3       0       18      1183    14868   108692  673585  1.53    1005    1.51    0.982339     168     34      4       0       0       580     12017   89838   485993  1.11    843     1.26    1.142340     192     37      3       0       18      1269    16060   110188  595680  1.35    797     1.19    0.881341     192     37      4       0       0       507     10498   87212   546857  1.24    1003    1.50    1.208342     120     29      4       0       0       789     14294   104326  586764  1.33    995     1.49    1.117343     120     26      4       0       0       703     13238   97742   557610  1.27    706     1.06    0.834344     168     28      4       0       0       478     11242   92291   546297  1.24    994     1.49    1.198345     216     38      3       0       73      2407    23003   149863  723232  1.64    1442    2.16    1.313346     216     28      4       0       0       452     9582    78574   476497  1.08    360     0.54    0.498347     192     50      4       0       0       336     8211    68701   459791  1.05    760     1.14    1.088348     96      56      4       0       0       1053    20070   131172  849222  1.93    21      0.03    0.016349     144     49      3       0       8       1416    20140   142503  918051  2.09    394     0.59    0.283350     168     32      4       0       0       790     16308   121460  753032  1.71    740     1.11    0.647351     120     42      3       0       20      2522    31303   230998  1402402 3.19    2081    3.12    0.977352     120     49      3       0       56      3202    34897   234126  1483378 3.37    906     1.36    0.402353     120     37      3       0       20      1743    24193   178493  1059306 2.41    957     1.43    0.595354     168     38      3       0       30      2157    26088   187771  1098434 2.50    805     1.21    0.483355     144     48      3       0       37      2525    27408   181272  1132063 2.57    1498    2.24    0.871356     156     30      3       0       8       1209    19597   144827  850748  1.93    1568    2.35    1.214357     120     37      3       0       4       1428    22010   168295  1031219 2.35    1883    2.82    1.202358     156     44      3       0       65      3033    32383   213895  1175134 2.67    1899    2.84    1.064359     120     53      3       0       24      1884    21370   136444  841445  1.91    287     0.43    0.225360     144     25      4       0       0       310     9925    87669   577258  1.31    504     0.75    0.575361     168     40      3       0       32      1789    22343   155121  937260  2.13    1454    2.18    1.022362     192     36      4       0       0       408     10001   88696   553928  1.26    942     1.41    1.120363     156     31      4       0       0       1018    18583   148536  940158  2.14    1751    2.62    1.226364     156     44      3       0       39      2413    26968   211226  1339231 3.05    1845    2.76    0.907365     144     47      3       0       10      1449    20947   149531  920405  2.09    1703    2.55    1.218366     180     39      3       0       24      1831    23146   185532  1177901 2.68    1728    2.59    0.966367     192     43      4       0       0       588     11620   92646   614770  1.40    1068    1.60    1.144368     168     39      3       0       16      1311    19241   127671  740987  1.69    1354    2.03    1.203369     180     39      3       0       79      2895    28337   224645  1328033 3.02    1915    2.87    0.950370     192     43      4       0       0       588     11827   92441   574091  1.31    1043    1.56    1.196371     168     34      3       0       11      1273    18277   125812  748572  1.70    1516    2.27    1.334372     192     36      4       0       0       408     9810    85038   566941  1.29    1019    1.53    1.184373     144     29      4       0       0       601     13298   103152  622612  1.42    930     1.39    0.984374     168     39      3       0       16      1311    19256   130583  757311  1.72    1277    1.91    1.110375     168     29      4       0       0       486     11362   92721   626115  1.42    818     1.23    0.860376     168     39      3       0       16      1311    19045   126849  799258  1.82    1299    1.95    1.070377     228     29      4       0       0       418     10279   89381   613362  1.40    609     0.91    0.654378     228     45      3       0       32      2101    25632   193298  1079158 2.45    1709    2.56    1.043379     144     35      4       0       0       425     11386   94645   596926  1.36    1037    1.55    1.144380     168     30      4       0       0       1329    21214   169394  1116408 2.54    286     0.43    0.169381     120     45      3       0       18      1987    26545   176071  1099116 2.50    1492    2.23    0.894382     156     52      3       0       92      3627    35559   229119  1261861 2.87    1896    2.84    0.989383     216     52      3       0       158     4212    35340   271590  1557792 3.54    929     1.39    0.393384     216     28      3       0       16      1237    18583   136796  797782  1.81    768     1.15    0.634385     180     35      3       0       24      1748    22725   178683  1134608 2.58    1651    2.47    0.958386     168     45      3       0       36      2351    28689   190898  1117303 2.54    1636    2.45    0.964387     168     35      4       0       0       751     15057   113050  708002  1.61    1276    1.91    1.187388     96      47      4       0       0       1098    19403   134602  883875  2.01    1003    1.50    0.747389     120     46      3       0       12      2145    28339   197553  1272143 2.89    423     0.63    0.219390     264     57      3       0       138     3501    29047   210398  1199576 2.73    729     1.09    0.400391     168     39      4       0       0       726     14697   112714  763616  1.74    623     0.93    0.537392     192     23      3       0       2       742     14044   113970  716614  1.63    636     0.95    0.584393     192     55      4       0       0       108     5328    54752   349122  0.79    347     0.52    0.654394     144     51      3       0       24      1750    22610   148195  942082  2.14    632     0.95    0.442395     192     51      4       0       0       189     7326    68345   406856  0.93    541     0.81    0.876396     168     45      3       0       36      2351    28381   181697  1125400 2.56    755     1.13    0.442397     192     55      4       0       0       108     5166    56261   369840  0.84    363     0.54    0.646398     192     63      4       0       0       108     4194    42767   277152  0.63    236     0.35    0.561399     288     59      3       0       21      1359    17312   113355  633438  1.44    1218    1.82    1.266400     192     55      4       0       0       108     5166    56078   357258  0.81    337     0.50    0.621401     144     52      3       0       38      1987    23346   150723  920404  2.09    616     0.92    0.441402     192     55      4       0       0       108     5166    56401   377544  0.86    516     0.77    0.900403     192     55      4       0       0       108     5328    53928   355536  0.81    679     1.02    1.258404     96      56      4       0       0       1053    20029   135407  877001  1.99    138     0.21    0.104405     168     41      3       0       5       1062    16973   113654  753307  1.71    1184    1.77    1.035406     192     55      4       0       0       108     5166    54621   360422  0.82    690     1.03    1.261407     288     53      3       0       12      960     13192   96378   625206  1.42    633     0.95    0.667408     144     30      4       0       0       520     11338   90595   561432  1.28    403     0.60    0.473409     192     51      4       0       0       189     7326    69615   463482  1.05    866     1.30    1.230410     288     27      4       0       0       101     4354    48942   342966  0.78    698     1.05    1.340411     288     33      4       0       0       92      4054    46789   336527  0.77    394     0.59    0.771412     576     33      5       0       0       0       324     10179   105075  0.24    187     0.28    1.172413     1728    27      6       0       0       0       0       729     17496   0.04    4       0.01    0.151414     576     33      5       0       0       0       324     10179   107189  0.24    61      0.09    0.375415     864     21      5       0       0       0       252     7977    90857   0.21    30      0.04    0.217416     864     31      4       0       0       54      2664    34263   232386  0.53    71      0.11    0.201                          Sum=  9       2739    213032  3483430 28422K  183M    416     277764  416.00                                                                                         =6*46294     min=0.016                                                                                                    max=4.272`

Column "54+7" contains the number of valid completions with up to 7 additional clues (including all combinations of 6 clues + one redundant), and so on.
Column "BF7" (Band Factor for 7 clues) is the weight of the band normalized to 1. If 7 random clue values are set in 7 random cells within the 27 cells of the band, and this clue combination resulted in a valid grid, then the probability a specific band to be formed is not flat, and this factor is some approximation for band's weight.
Column "In17" is the number of occurrences of the band within the known 46294 grids having 17-clue puzzles.
"BF17" is the actual weight of the band within grids with 17s.
"BF17/7" is the ratio between BF17 and BF7, just to present that some correlation exists but is not stable.

Last edited by dobrichev on Sat Jul 21, 2018 9:14 am, edited 1 time in total.
dobrichev
2016 Supporter

Posts: 1830
Joined: 24 May 2010

### Re: Bands and low-clue puzzles

The bands ordered by frequency in 46294 grids with 17-clue puzzles is in this table below.
Hidden Text: Show
Code: Select all
`Occur Band      4 413      8 224      9 133     12 240     13 001     14 104     16 254     21 307     21 348     25 016     30 415     31 237     41 289     61 414     62 101     71 416     73 302     76 084     78 008     80 105     82 045     83 253     86 219     93 083     94 122     96 054     99 067    103 309    104 137    110 033    124 032    129 004    129 098    130 097    131 129    132 124    132 247    134 100    137 027    138 245    138 404    143 149    143 213    144 075    144 183    150 148    151 030    156 074    157 048    161 238    163 225    173 093    173 287    176 241    184 259    186 071    187 412    189 114    198 036    201 314    207 218    208 214    214 190    220 230    222 256    224 116    224 226    225 140    225 144    231 298    236 398    238 152    238 220    250 255    251 275    257 072    258 109    259 046    259 115    259 193    265 252    267 119    268 308    269 233    269 250    274 094    274 310    278 044    278 160    278 235    280 281    284 092    285 003    285 232    286 029    286 306    286 380    287 359    289 217    291 009    291 132    297 175    297 223    298 303    298 305    307 047    308 228    314 131    314 260    316 167    317 251    322 142    323 059    324 136    327 049    328 135    331 294    334 151    337 042    337 400    344 053    347 393    348 102    349 069    349 112    351 066    354 039    355 035    355 127    356 189    360 091    360 346    361 088    363 397    364 110    365 041    366 062    371 288    376 108    377 087    378 058    380 103    381 195    382 171    383 174    383 304    385 192    386 336    388 082    388 182    391 284    393 095    394 349    394 411    399 196    403 408    404 222    407 191    409 188    412 002    418 007    421 090    422 158    423 057    423 242    423 389    429 280    432 246    433 037    434 239    435 051    450 229    454 187    457 293    461 123    462 286    479 076    485 221    490 164    493 034    493 078    493 139    494 013    494 128    497 081    501 295    503 052    504 360    509 111    514 043    514 150    516 402    517 210    521 147    524 064    528 080    529 063    531 290    535 227    536 073    541 395    548 279    550 096    552 172    552 208    555 038    555 055    557 159    559 141    563 334    569 099    572 274    577 146    578 106    582 234    584 113    587 079    592 282    594 126    597 156    604 077    609 377    611 194    616 332    616 401    617 276    623 391    625 161    626 324    629 204    630 231    631 163    632 394    633 407    634 086    636 392    642 313    653 202    655 205    662 327    669 120    676 325    679 403    680 060    687 244    690 017    690 406    692 166    697 068    698 410    699 266    700 186    701 277    703 323    706 343    707 267    714 285    714 326    720 173    728 198    729 390    733 143    740 350    744 154    747 040    747 243    749 031    753 070    755 396    758 089    759 278    760 347    763 157    764 330    768 384    770 331    772 335    779 180    781 203    785 291    786 271    787 085    787 181    787 292    797 337    797 340    798 283    804 050    804 272    805 354    818 318    818 375    821 249    828 107    841 264    843 339    845 056    849 138    851 268    855 061    866 409    871 065    873 269    876 273    884 162    889 153    894 145    905 262    906 352    913 125    913 134    929 383    930 373    942 362    945 184    957 353    958 117    959 018    973 258    976 316    978 197    985 261    994 344    995 342    996 216   1003 341   1003 388   1004 257   1005 338   1006 329   1014 320   1019 372   1023 178   1033 328   1037 379   1042 312   1043 370   1047 130   1052 317   1054 005   1057 236   1060 270   1068 367   1078 215   1082 176   1103 118   1127 021   1134 297   1139 322   1145 300   1146 179   1148 301   1154 121   1174 165   1180 200   1184 321   1184 405   1187 311   1203 169   1204 333   1206 265   1210 019   1211 212   1218 399   1232 010   1232 023   1236 248   1239 155   1250 319   1253 177   1266 185   1276 387   1277 374   1289 170   1290 263   1299 376   1307 209   1308 299   1309 315   1324 199   1338 207   1354 368   1355 201   1420 296   1442 345   1450 014   1454 361   1492 206   1492 381   1498 355   1506 012   1516 371   1530 168   1568 211   1568 356   1590 028   1636 386   1651 385   1684 015   1703 365   1709 378   1728 366   1751 363   1798 011   1818 025   1845 364   1883 357   1896 382   1899 358   1915 369   2061 026   2081 351   2250 006   3139 022   3237 024   3330 020`

Next, for the known 17-clue puzzles we can count the crossing bands (band B1 from 416 crosses stack B2 from 416).

For the 49151 17s (each consist of 9 crossings) there are 69343 different crossing combinations, not taking into account where two bands share a box.

Below is a summary for the combinations, grouped by number of occurrences in 17-clue puzzle grids. Here the puzzles are processed and solution grids having more than one 17-clue puzzle are counted more than once.
Column 1 is the group (class) size.
Columns 2 and 3 are the crossing bands for an exemplar of this group.
Column 4 is the number of occurrences of this crossing box.
Hidden Text: Show
Code: Select all
`Gr.size Exemplar B1xB2  Num occurrences      1 020     024     144      1 022     024     137      1 020     022     112      1 020     357     111      1 006     024     107      1 024     351     106      1 022     378     99      1 020     364     94      1 024     357     88      2 022     381     86      3 020     382     85      1 020     358     83      1 020     351     82      1 024     369     80      1 020     378     79      1 024     211     78      2 022     382     77      3 024     025     75      4 022     369     73      5 024     382     72      2 024     381     71      2 024     385     70      3 022     366     69      7 024     026     68      4 026     351     67      2 024     363     66      2 024     028     65      5 022     357     64      3 022     212     63      7 022     385     62      3 022     365     61      8 168     378     60      7 024     371     59     10 026     358     58     11 024     364     57      9 024     168     56      7 168     381     55      6 025     382     54      8 024     329     53      8 351     382     52     14 024     386     51     14 024     368     50     11 024     317     49     17 369     382     48     24 356     357     47     16 201     351     46     18 366     369     45     26 358     363     44     24 363     378     43     27 364     387     42     20 357     365     41     30 382     386     40     46 374     382     39     31 381     386     38     29 364     369     37     57 378     386     36     50 368     378     35     52 369     378     34     57 381     382     33     84 382     385     32     95 378     385     31     96 378     381     30    110 371     378     29    130 386     387     28    150 382     399     27    180 385     386     26    217 385     409     25    214 387     399     24    284 386     405     23    293 386     399     22    378 383     405     21    394 383     386     20    504 387     405     19    534 403     409     18    654 399     405     17    726 386     410     16    844 399     409     15   1082 388     399     14   1275 405     410     13   1423 405     411     12   1704 407     410     11   2045 405     405     10   2433 401     406     9   2907 402     410     8   3499 409     411     7   4378 409     410     6   5256 406     411     5   6572 403     411     4   7999 410     410     3   9801 406     412     2  12372 411     416     1`

Next, taking into account where the respective bands are crossed (box number of the minlex representation of the first band, and box number for the second band), there are 256191 distinct combinations for the 46294 grids.
Grouped by the number of occurrences, here is the summary.
Code: Select all
`Gr.size Exemplar                   Num occurences      1 022     2       022     3       25      2 020     1       024     3       20      2 020     1       024     2       19      1 020     2       024     1       18      5 006     3       024     3       17      5 014     2       020     2       16      7 011     2       385     2       15     13 006     3       358     3       14     25 006     3       020     1       13     38 006     1       024     1       12     47 006     1       024     3       11    104 006     2       198     1       10    197 006     1       022     2       9    432 005     1       024     2       8    794 005     2       020     1       7   1637 002     2       382     2       6   3615 002     3       026     2       5   8516 002     1       020     2       4  21529 002     1       011     3       3  57179 001     1       299     1       2 162042 001     2       017     1       1`

Columns 2,3,4,5 for the exemplar represent Band1 number, Box in band 1, Band 2, Box in band 2 respectively.

The same data for the puzzles, i.e. puzzle solutions weighted by puzzle count in the solution, give very different result since the occurrence count is in the same order as puzzle count in some grids.

Hidden Text: Show
Code: Select all
`      1 014   1   381   1   42      2 022   1   381   2   39      1 014   3   176   2   37      2 022   3   176   3   33      1 006   2   285   1   32      1 168   3   176   1   31      2 023   3   236   1   30      1 014   2   378   2   29      3 020   1   024   3   25      2 006   3   052   3   24      1 024   2   358   3   22      6 006   3   024   3   21      5 011   2   385   2   20      3 010   2   024   1   19      4 010   2   014   1   18     10 006   1   024   2   17     14 006   3   358   3   16     31 006   3   020   1   15     38 006   1   024   3   14     43 006   1   026   3   13     73 006   1   024   1   12    107 005   1   211   3   11    197 005   2   028   1   10    356 002   3   180   3   9    704 002   3   396   1   8   1216 004   1   093   2   7   2323 002   2   356   1   6   4625 002   3   026   2   5  10194 002   3   019   1   4  23239 002   1   011   3   3  57621 001   1   299   1   2 155365 001   2   017   1   1`

Back to solution grids.
Here is the number of occurrences of the crossing bands for the top of the list (10+ grids)
Hidden Text: Show
Code: Select all
`Band1   Box1    Band2   Box2    Num Grids with 17s022     2       022     3       25020     1       024     3       20024     2       358     3       20020     1       024     2       19022     1       024     1       19020     2       024     1       18006     3       024     3       17020     2       022     1       17020     3       022     2       17020     3       024     3       17022     2       382     1       17014     2       020     2       16022     2       024     2       16022     2       206     3       16022     2       351     3       16022     2       405     2       16011     2       385     2       15020     3       357     2       15022     1       024     3       15022     3       024     1       15022     3       297     3       15022     1       378     3       15024     2       357     2       15006     3       358     3       14011     1       024     1       14020     1       025     1       14020     1       273     3       14020     1       365     1       14020     2       365     3       14020     1       382     3       14022     2       022     2       14022     2       024     1       14022     2       369     3       14024     3       206     2       14024     1       351     2       14024     2       351     1       14006     3       020     1       13011     2       358     3       13012     1       363     1       13020     2       022     2       13020     1       024     1       13020     2       024     2       13020     2       026     3       13020     3       185     3       13020     1       351     1       13020     2       357     1       13020     2       369     2       13020     2       371     1       13020     2       382     1       13022     3       351     2       13022     1       369     1       13022     1       385     2       13024     1       024     3       13024     3       024     3       13024     2       026     3       13024     3       026     3       13024     3       028     2       13024     3       206     1       13024     1       351     1       13024     3       363     3       13024     3       369     2       13006     1       024     1       12006     1       024     2       12006     1       026     3       12006     1       315     2       12015     1       020     2       12020     1       020     3       12020     3       023     2       12020     1       026     1       12020     3       170     3       12020     3       197     3       12020     2       270     3       12020     3       351     2       12020     3       351     3       12020     1       357     1       12020     2       357     3       12020     3       357     1       12020     1       358     2       12020     2       363     1       12020     1       364     2       12020     2       364     1       12020     3       364     1       12020     3       365     1       12020     3       366     2       12022     2       024     3       12022     3       024     3       12022     3       168     2       12022     1       356     1       12022     1       357     1       12022     3       358     1       12022     3       365     1       12022     2       378     3       12022     3       405     2       12024     3       025     2       12024     1       199     2       12024     3       351     3       12024     1       363     1       12024     1       381     2       12024     2       382     3       12006     1       024     3       11006     2       356     1       11006     3       357     2       11006     3       366     1       11011     3       351     1       11015     2       357     2       11020     1       022     3       11020     2       211     1       11020     2       212     1       11020     1       265     2       11020     3       272     3       11020     2       355     1       11020     1       357     2       11020     2       358     1       11020     2       366     1       11020     3       366     3       11020     1       368     1       11020     1       378     3       11020     1       381     1       11020     2       382     2       11020     1       386     1       11022     3       023     1       11022     2       177     3       11022     1       185     1       11022     1       211     1       11022     3       301     3       11022     1       357     2       11022     3       366     3       11022     1       378     1       11022     1       381     2       11022     1       381     3       11022     3       382     2       11022     3       383     2       11024     2       028     1       11024     2       061     2       11024     3       176     1       11024     3       296     3       11024     1       300     3       11024     1       333     1       11024     3       351     1       11024     3       351     2       11024     3       364     3       11024     1       365     2       11024     3       382     1       11024     3       382     2       11024     1       385     3       11024     1       387     3       11006     2       198     1       10006     2       211     2       10006     3       351     2       10006     3       363     2       10006     3       364     3       10006     2       369     2       10011     2       155     1       10011     2       209     2       10011     1       355     2       10014     3       020     1       10015     2       020     3       10015     3       366     1       10015     2       382     1       10015     2       386     2       10020     1       022     1       10020     3       024     2       10020     2       025     1       10020     3       026     3       10020     2       165     2       10020     2       207     2       10020     2       263     2       10020     3       265     2       10020     1       329     1       10020     2       344     1       10020     3       351     1       10020     3       356     1       10020     3       357     3       10020     1       358     1       10020     3       358     3       10020     2       361     1       10020     1       364     1       10020     1       364     3       10020     2       364     3       10020     3       364     3       10020     3       365     2       10020     1       368     2       10020     1       378     1       10020     2       378     1       10020     2       378     2       10020     3       382     1       10020     2       385     1       10020     3       386     2       10020     1       388     1       10020     2       405     2       10022     2       025     2       10022     3       025     1       10022     3       138     1       10022     2       155     2       10022     2       199     3       10022     3       201     3       10022     2       212     1       10022     2       212     3       10022     3       265     3       10022     2       296     2       10022     2       299     3       10022     3       299     1       10022     1       319     3       10022     2       333     3       10022     1       345     1       10022     1       351     2       10022     2       356     1       10022     3       362     2       10022     3       363     3       10022     1       369     3       10022     2       372     1       10022     3       375     3       10022     1       382     3       10022     2       399     3       10024     2       025     2       10024     1       026     1       10024     2       028     2       10024     1       211     2       10024     2       211     2       10024     3       211     2       10024     1       212     1       10024     2       248     3       10024     3       299     3       10024     2       351     2       10024     3       353     2       10024     2       355     2       10024     3       356     2       10024     1       357     3       10024     2       357     3       10024     3       357     1       10024     1       363     3       10024     2       363     1       10024     3       365     3       10024     3       369     1       10024     2       371     1       10024     3       385     3       10025     2       155     2       10025     3       200     1       10026     1       165     2       10026     1       206     1       10026     1       351     1       10168     3       261     2       10168     2       351     3       10206     1       357     3       10272     1       351     1       10351     1       351     2       10351     2       365     2       10351     3       366     3       10363     2       366     2       10364     1       368     3       10`

Note that different row permutations in the crossing bands result in different solution grids. The possible row permutations (6 for band1 * 6 for band2 = 36) are ignored in these statistics.

MD
dobrichev
2016 Supporter

Posts: 1830
Joined: 24 May 2010

### Re: Bands and low-clue puzzles

17-clue puzzles occupy from 3+6+8 clues per band to 4+4+9 clues.

There are no puzzles with 3 or 9 clues simultaneously in a band and a stack.

The only puzzles which have 8 clues in a band in both directions are these three:
Code: Select all
`... ... ...... ... ..1..2 .34 ...... ..2 ...... 1.5 ..6..3 ... ....1. ... .4..5. .78 .3..6. 5.. ...... ... ...... ... .12... ..3 ..4... ..5 6....1 ... .....2 ... ..7... .1. ....6. .7. 8...8. 2.. 56.... ... ...... ..1 ..2..3 ... .4.... ... 5....2 .6. 3...5. .7. 18.... 2.. .3..1. ... ...7.. ... 8..`

MD
dobrichev
2016 Supporter

Posts: 1830
Joined: 24 May 2010

### Re: Bands and low-clue puzzles

This is the distribution of 17s by band population.

Code: Select all
`Count min max 1248  4  7    3  4  840375  5  6 7525  5  7`

where
min = max(min(bands population), min(stacks population))
max = min(max(bands population), max(stacks population))
dobrichev
2016 Supporter

Posts: 1830
Joined: 24 May 2010

### Re: Bands and low-clue puzzles

Hi, dobrichev!
You published interesting results. I need some time to ponder them. If my understanding is right, you are trying to find regularities in 17-clues puzzles to limit efficiently space of search for new 17-clues puzzles. I have similar ideas concerning search for 18-clues horizontally symmetric puzzles. (I'll publish them in a while.)

Serg
Serg
2018 Supporter

Posts: 789
Joined: 01 June 2010
Location: Russia

### Re: Bands and low-clue puzzles

working on another topic, I fall back in that problem.

Being locked in the search described in
this post,

I have investigated what could be done with the last version of the brute force.
In the process applied, we use a top down process to the ED patterns 27 + X + Y

Code: Select all
`selecting a gangsterfinding all permuttations of the pattern to apply to the gangsterexpanding the pattern with filters against redundancyChecking if the final puzzle is valid`

For the time being, the bottleneck of the process is he brute force, costly when the puzzle has a multiple solution, which is the majority by far with 27+3+5.

The only way I see to filter the multiple solutions puzzles is to switch from a top down to a bottom up process. But let me tell more.

As you write in that thread, any valid band can be morphed to one of the 416 rowminlex bands.

Let's assume that we look for valid puzzles 27+5+3.
After magic filter, we have 8208 ED patterns to test.

The concept for each ED pattern would be

Code: Select all
`- Find all valid Band 3 (3 clues) - for each valid band3  find all valid band2 (5 clues) again using pre tested bands   check whether the final 2 bands is valid;`

When band 2 and band 3 are defined, the gangster in band 1 is known. We are back in the top down process.

Following that idea, we need the collection of valid 3 clues in a band leading to

- a band with only one solution
- no redundant clue (although this is not that common with 3 clues)

Is it the definition of your column 54 + 3 ? (54+n)

I made my own test using the blue prints of Mc Gary and I am below your count
but this is without expansion of all 2 clues giving a multiple solution.
I need more code to find these
I'll cross check the results with yours.

I'll write a separate post to describe with more details what could be the bottum up process.

BTW, I have an oddity with the band (381)

123456789457289631698317254

I get the following UA's from the Mc Gary file

..1....1..11..1.1..11..1.1.
.1.1....1.1.1...1..1.1...11
.....11...1.1.111..1.1.111.
1.111..1.1.......1..111..11

Here you have one cell hitting all UA's. For sure, the corresponding band will have a multiple solution, but it has a good chance to be a source for a 2 or 3 clues valid band;
Good example any way to test the relevant code.
champagne
2017 Supporter

Posts: 7267
Joined: 02 August 2007
Location: France Brittany

### bottom search in 27 + X + Y mode

More on the 27 + X + Y bottom up search

I'll continue to use the 27 + X + 3 example, and more precisely 27 + 5 + 3 already processed.

Having applied the magic filter, we have to expand 8209 ED patterns.

The first remark is that, even if the use of the 416 was a necessary step to find valid bands, we are in a gangster vision.

If I consider my own partial set of "3 given" valid bands, not all gangsters have a valid band. Active gangsters are

Code: Select all
`5 to 1316 to 1821 to 3032 to 3641-42.`

part of them have relabelling automorphisms, that should be used to reduce the count. Some of the 3 given band solutions are isomorph.

We want to start with the band having 3 given. Interesting in the split of my set of band solutions by "maxpat"

Code: Select all
`342      110 000 000   000 100 000   empty16      100 100 000   100 000 000   empty530      100 100 000   010 000 000   empty356      100 100 000    000 000 100   empty29      100 000 000   100 000 000   000 100 000424      100 000 000   010 000 000   000 100 000178      100 000 000   000 100 000   000 000 1001875   (2739 in dobrichev's count, including 1+2 and 2+1 missing here)   `

Some possible patterns are missing, as all given in box 1, but these are likely excluded in the magic filter

So the number of starts, before automorphisms is a minimum of (0 to 29) and a maximum of 530

For the second band (here 5 given), we have to cross

gangsters authorised by the gangster in band 3
solution band authorised by the maxpat equivalent to the given 5 clues pattern.

Again, likely, isomorphisms can be applied to reduce the count, but the maximum of solutions is in average far below the 3483430 possibilities identified by Mladen Dobrichev.

I can say that compared to the count done in the top down process, this is peanut.
champagne
2017 Supporter

Posts: 7267
Joined: 02 August 2007
Location: France Brittany

### Re: Bands and low-clue puzzles

champagne wrote:Following that idea, we need the collection of valid 3 clues in a band leading to

- a band with only one solution
- no redundant clue (although this is not that common with 3 clues)

Is it the definition of your column 54 + 3 ? (54+n)

The definition from above is
"Column "54+7" contains the number of valid completions with up to 7 additional clues (including all combinations of 6 clues + one redundant), and so on."
In other words, uniqueness is guaranteed, but minimality is not.
The minimality criterion for 54+3 case is applicable only for band 29 which has 9 54+2 patterns - the 543 54+3 patterns must be tested whether they are supersets of the 9 54+2 ones.

I see no reason to work with Mc Gary's subset of UA since the complete sets of in-band UA per band is sufficiently short and is trackable.
Also, I see no reason to stick to minimality. The obtained patterns resolve only the in-band UA and this is found to be very weak condition. Cross-bands UA must be resolved too, and the enumerated set of all non-minimal clue combinations can be directly tested instead of be generated on the fly.
dobrichev
2016 Supporter

Posts: 1830
Joined: 24 May 2010

### Re: Bands and low-clue puzzles

dobrichev wrote:I see no reason to work with Mc Gary's subset of UA since the complete sets of in-band UA per band is sufficiently short and is trackable.

I have 2, but having the full set would be grate

a) I have the code to use the sets of UA's size 12 and less
b) It covers most of the cases for a small number of clues and I see what code I can write and use to fill the gap

dobrichev wrote:Also, I see no reason to stick to minimality. The obtained patterns resolve only the in-band UA and this is found to be very weak condition. Cross-bands UA must be resolved too, and the enumerated set of all non-minimal clue combinations can be directly tested instead of be generated on the fly.

I did not think about cross bands, but what I intend to do is to combine 2 "horizontal" bands.

If the partial solution in one band is not minimal, IMO the final result will not be a minimal sudoku.
Let me tell in another way.

Having the solution grid in the band 3, we have all mini columns established and this is what is used for the next steps in the process.
The redundant clue has no effect on that process. It can be cleared in the final grid.

,
champagne
2017 Supporter

Posts: 7267
Joined: 02 August 2007
Location: France Brittany

### Re: Bands and low-clue puzzles

dobrichev wrote:Solving such pseudo-puzzles we can find for all 416 bands:
- the number of solutions (column "Sol" in the table below);
- all minimal UA sets within the band (column "UA" is the number of UA);
- the minimal number of the additional clues required to hit all in-band UA (MinClues);
- all valid permutations of N additional clues that hit all UA, for some reasonable small N (54+N).

In working with champagne, and trying to produce the "54+N" numbers for the 44 "gangster" (PM) bands, I've come to the conclusion that either I've misunderstood what you were doing, or there are errors in your "54+N" columns, for N > MinClues(band).

At first, I thought I could calculate what I wanted, using your data and a map from "minlex bands" to "gangsters".
After a big mistake in the method, and then implementing the "fix", I wanted to verify my final results.
[ That's what finally lead me to making this post. ]

The way I understood your description, the numbers should match the number of 54+N clue subgrids that represent valid puzzles ... where the full grids have a (fixed) minlex band 1, and any (fixed/compatible) completion in bands 2 & 3.

For a while, I wondered if you were only counting N clues that had a "MinClues" size subset that was also a valid puzzle.
I don't think that was true, though, since some of the numbers that I'm getting are larger, and some are smaller than yours.

Have I misunderstood ?
Do I have an inevitable bug in my code ?

Below is a comparison for the first 10 bands.

Best Regards,
Blue.

Yours:
Code: Select all
`band  54+2  54+3  54+4  54+5   54+6   54+71        0     0     0     0    729  174962        0     0     0   324  10179 1074063        0     0   108  4194  41895 2606894        0     0     0   252   7977  915795        0     0   108  5328  55883 3812536        0     0   101  4354  47881 3468257        0     6   912 15274 120750 7366088        0     0     0  1107  22952 2217059        0     0    54  2664  34263 233862`

Mine:
Code: Select all
`band  54+2  54+3  54+4  54+5   54+6   54+71        0     0     0     0    729  182252        0     0     0   324  10503 1124913        0     0   108  4302  45333 2572834        0     0     0   252   8229  928895        0     0   108  5436  58401 3172416        0     0   101  4455  51291 2924857        0     6   918 16164 117129 5078438        0     0     0  1107  23139 1796769        0     0    54  2718  36585 235521`
blue

Posts: 912
Joined: 11 March 2013

### Re: Bands and low-clue puzzles

Hi Blue,

I remember we had similar inconsistency in the number of 20-clue puzzles for the grid having 20 17s. From memory, I was wrong there because my code unexpectedly "optimized" some of the non-minimal subgrids.
Since the 54+N were generated in the same way and using the same code, it is much possible that my results are wrong due to the same error.

The case for band 3 col 54+7 is a big surprise, because you are finding less valid subgrids and if you are right, then my results contain invalid ones.

I will try to find the code I used, will check whether I can reproduce mine or yours results, and will dump the clues for some of the bands allowing row-by-row comparison of the clues.

For the purposes of 27+x+y approach, the efficiency of using the pre-calculated tables must be proven. My doubts are that the expansion of the tables of valid clue combinations to all possible column re-arrangements (or one-to-many pattern transformation) is costly and might cancel the reductions done previously by many-to-one pattern/band transformations. Unless it is done in a smart way on the right place of course, and such place could still exist.
dobrichev
2016 Supporter

Posts: 1830
Joined: 24 May 2010

### Re: Bands and low-clue puzzles

dobrichev wrote:I will try to find the code I used, will check whether I can reproduce mine or yours results, and will dump the clues for some of the bands allowing row-by-row comparison of the clues.

Sounds good, but ...
The case for band 3 col 54+7 is a big surprise, because you are finding less valid subgrids and if you are right, then my results contain invalid ones.

If that's true, then you should be able to find the invalid results without comparing lists.
Then fixing bug(s) that lead to those results, might make the other numbers match too.

dobrichev wrote:For the purposes of 27+x+y approach, the efficiency of using the pre-calculated tables must be proven. My doubts are that the expansion of the tables of valid clue combinations to all possible column re-arrangements (or one-to-many pattern transformation) is costly and might cancel the reductions done previously by many-to-one pattern/band transformations. Unless it is done in a smart way on the right place of course, and such place could still exist.

All true. The "reductions done previously by many-to-one pattern/band transformations", used two ideas: exploit gangster automorphisms for the 27-clue band, and remove X+Y patterns that are known to not have valid puzzles ("magic patterns" filter). There is an easy way to use both ideas with the puzzle tables, in a "one-to-many" approach for generating test puzzles. The number of puzzles generated for a few X+Y cases, are close enough that I'm keeping an open mind about the whole approach. I'm close to giving up on the idea, though.
blue

Posts: 912
Joined: 11 March 2013

### Re: Bands and low-clue puzzles

Some progress here.

I found not all clue combinations are expanded to the 54+N size, so that the secondary non-zero column and later don't contain all minimal + non-minimal maps.
All my numbers now are <= than yours. Something has been fixed in the code within the last 5 years.

I have 3 questions now.
1) Are the mixed minimal+non-minimal clue combinations really needed? We can generate only minimal ones after all and easily expand them if/when needed.
2) What is the most suitable format? Bitmaps naked to min-lexed band, or compressed 27-bit bitmaps (integers), or 27-character strings, or 27+54 character strings? One file per band per size, or single file with columns for band and size, or something in between?
3) Do we need data for 54+8? It seems achievable (~1 hour of calculations), especially if keeping tables only for minimals.

My plan is to expand minimals in all possible ways (if we want mixture of minimals and non-minimals for a fixed size), and finally to run once more the solver to ensure there are no multiple-solution puzzles due to other errors in code.
Probably will do it tomorrow.

Cheers,
dobrichev
2016 Supporter

Posts: 1830
Joined: 24 May 2010

### Re: Bands and low-clue puzzles

dobrichev wrote:Some progress here.

I found not all clue combinations are expanded to the 54+N size, so that the secondary non-zero column and later don't contain all minimal + non-minimal maps.
All my numbers now are <= than yours. Something has been fixed in the code within the last 5 years.

Good news !

I have 3 questions now.
1) Are the mixed minimal+non-minimal clue combinations really needed? We can generate only minimal ones after all and easily expand them if/when needed.

Producing the non-minimals from the minimals is easy enough, but the obvious method would produce duplicates (if there were non-minimals with more than one minimal subset).

This is something I put in a PM to champagne, to show why the non-minimal cases are needed (at some point in the game):
(...) here is a 17 clue puzzle metioned in Mladen's thread, and a version with bands 2 and 3 filled in from the solution grid.
In the 54+4 puzzle, 2r2c9 is redundant, but (of course) it isn't redundant in the 17-clue puzzle.

Code: Select all
`. . . | . . . | . . .. . . | . . 1 | . . 2. . 3 | . . . | . 4 .------+-------+------. . . | . . . | 5 . .. . 2 | . 6 . | 3 . .. 5 . | . 7 . | 1 8 .------+-------+------. . . | 2 . . | . 3 .. 1 . | . . . | . . .7 . . | . . . | 8 . .. . . | . . . | . . .. . . | . . 1 | . . 2     -> 2r2c9 is redundant. . 3 | . . . | . 4 .------+-------+------6 3 1 | 4 9 8 | 5 2 78 7 2 | 1 6 5 | 3 9 44 5 9 | 3 7 2 | 1 8 6------+-------+------5 9 6 | 2 8 7 | 4 3 13 1 8 | 6 5 4 | 2 7 97 2 4 | 9 1 3 | 8 6 5`

2) What is the most suitable format? Bitmaps naked to min-lexed band, or compressed 27-bit bitmaps (integers), or 27-character strings, or 27+54 character strings? One file per band per size, or single file with columns for band and size, or something in between?

If it's for sharing globally ... something I can't do ... then I'm not the one to ask. (I can generate them here).
If it's to use between us, for bug hunting, then (zip) compressed 27-bit bitmaps (integers), is fine. I would just need to know which bit is for (r1,c1), and so on. It would be nice to have the non-minimals included, too, and just a few files for (band,size) pairs where we still have differences.

3) Do we need data for 54+8? It seems achievable (~1 hour of calculations), especially if keeping tables only for minimals.

For the "27+x+y" problems (looking to make 17's out of them), they wouldn't be needed.
27+2+? results have been covered.
27+3+8's would reduce to 6+3+8, and would be better found as 8+3+6, etc.

Cheers,
Blue.
blue

Posts: 912
Joined: 11 March 2013

### Re: Bands and low-clue puzzles

The revised results
Hidden Text: Show
Code: Select all
`Band    54+2    54+3    54+4    54+5    54+6    54+71       0       0       0       0       729     182252       0       0       0       324     10503   1124913       0       0       108     4302    45333   2572834       0       0       0       252     8229    928895       0       0       108     5436    58401   3172416       0       0       101     4455    51291   2924857       0       6       918     16164   117129  5078438       0       0       0       1107    23139   1796769       0       0       54      2718    36585   23552110      0       0       92      4146    49197   28686911      0       12      972     14178   98031   43088512      0       0       224     6161    59665   31868913      0       0       312     8358    74694   37257914      0       0       462     10212   82402   38984415      0       0       415     9826    81688   38981616      0       0       0       972     21060   16950617      0       72      2766    26988   146553  55756518      0       0       108     5274    58293   31722319      0       0       189     7515    74232   37629020      0       21      1380    18708   121704  50407021      0       0       108     5274    58293   31722322      0       5       1067    18207   124493  52197123      0       0       520     11860   94865   43791924      0       5       1067    18207   124493  52197125      0       30      1802    24248   152198  60388826      0       110     3275    31730   170911  63327527      0       0       1053    21087   135486  54225028      0       38      2025    26285   157845  61097729      9       567     7398    51516   237762  80357430      0       0       1053    21087   135486  54225031      0       64      3471    40029   218658  78195032      0       0       0       546     12291   10159733      0       0       0       63      3786    4801634      0       0       200     5382    47841   24439835      0       0       38      2050    24981   15866536      0       0       39      2428    30236   18382337      0       0       273     5839    48964   24522638      0       0       182     5027    46207   24010639      0       0       22      1614    22296   14773940      0       3       659     12051   86871   38462441      0       0       74      4132    47369   26754342      0       0       126     3746    36128   19564543      0       0       145     4126    39350   21381544      0       0       34      2444    31234   19037145      0       0       0       90      4992    6164546      0       0       37      1859    22537   14417747      0       0       29      1858    25833   16639648      0       0       0       63      3786    4801649      0       0       38      2050    24981   15866550      0       3       740     13176   92341   39897451      0       0       35      2287    30924   19335752      0       0       95      4182    44348   24366753      0       0       267     7835    66523   32239954      0       0       0       378     9978    8720655      0       0       161     5230    48594   25098556      0       2       557     10414   75983   34311957      0       0       56      2497    30129   18159158      0       0       40      2730    33702   20207059      0       0       29      1894    25044   16288060      0       0       65      3085    37824   22488461      0       0       304     7481    64086   31489762      0       0       29      1894    25044   16288063      0       0       187     4570    42130   22474264      0       0       195     5318    50101   26161165      0       7       668     11527   84087   37713066      0       0       34      2444    31234   19037167      0       0       0       90      4992    6164568      0       2       557     10414   75983   34311969      0       0       41      2489    31699   19468670      0       0       349     8585    69584   32995271      0       0       122     3373    32885   18233072      0       0       0       312     8389    7632873      0       0       166     5166    47707   24766074      0       0       0       490     10861   8946275      0       0       88      3516    34561   18821676      0       0       79      3750    41190   23439477      0       0       45      2810    35949   21723478      0       0       90      3640    39054   22035379      0       0       51      3491    41952   24441480      0       0       146     4880    45349   23476281      0       0       110     3371    33681   18819182      0       0       122     3243    31818   17898183      0       0       0       301     6750    6014284      0       0       0       527     12116   10059785      0       0       254     7072    62529   31105786      0       0       159     4394    42637   23076487      0       0       53      2789    33031   19799188      0       0       17      1919    28783   18885289      0       3       639     11063   77265   34419190      0       0       56      2497    30129   18159191      0       0       32      2635    33229   19935192      0       0       14      1577    23742   16222493      0       0       0       410     9044    7761894      0       0       64      2755    30552   17811995      0       0       139     3291    32343   18269696      0       0       59      3624    41496   23562697      0       0       80      3198    33350   18759498      0       0       122     3373    32885   18233099      0       0       46      2943    36126   214675100     0       0       0       300     7114    63274101     0       0       0       78      4759    57861102     0       0       61      3067    34120   193678103     0       0       59      3180    36112   209844104     0       0       0       168     6599    67317105     0       0       0       258     6471    59483106     0       0       196     5748    51873   263306107     0       10      899     13412   90874   392257108     0       0       40      2730    33702   202070109     0       0       0       499     12673   106886110     0       0       40      2730    33702   202070111     0       0       120     3743    38736   217098112     0       0       34      2444    31234   190371113     0       0       182     4363    41114   222859114     0       0       80      3198    33350   187594115     0       0       0       543     12480   104098116     0       0       0       421     9425    81083117     0       0       210     7001    63233   314083118     0       7       810     13026   90417   392659119     0       0       16      1781    24707   156804120     0       10      1008    14629   95046   400726121     0       0       325     7891    67665   332112122     0       0       0       374     9735    84730123     0       0       200     5382    47841   244398124     0       0       37      1859    22537   144177125     0       2       557     10414   75983   343119126     0       0       90      3640    39054   220353127     0       0       29      1858    25833   166396128     0       0       280     7459    63324   310187129     0       0       88      3516    34561   188216130     0       7       668     11527   84087   377130131     0       0       39      2614    32134   194382132     0       0       87      3260    33061   184000133     0       0       0       309     7614    67065134     0       0       379     8641    71103   340816135     0       0       38      2050    24981   158665136     0       0       38      2050    24981   158665137     0       0       35      1989    24545   152575138     0       0       65      3085    37824   224884139     0       0       360     8858    70583   331589140     0       0       0       326     8351    77930141     0       0       174     5381    51481   269997142     0       0       513     10707   79058   353676143     0       13      1091    15852   101893  420124144     0       0       266     7541    63911   308593145     0       0       694     14245   104739  455905146     0       0       340     9359    79123   376887147     0       4       731     12182   83273   360973148     0       0       22      2212    28818   178050149     0       0       42      2454    30961   189753150     0       0       513     10707   79058   353676151     0       0       33      2730    34435   207483152     0       0       20      1225    16791   115126153     0       0       440     10527   85084   391609154     0       0       477     11781   92956   419968155     0       0       1032    18267   124304  516721156     0       0       388     8908    73041   345620157     0       0       221     6726    60132   301739158     0       0       314     7704    64150   308780159     0       0       336     8531    72040   343644160     0       0       0       1131    22200   164859161     0       0       185     5374    51645   273043162     0       5       1009    16411   110980  467739163     0       0       185     5374    51645   273043164     0       0       246     8079    70924   339922165     0       21      1645    22329   137241  542712166     0       0       464     10416   82120   377043167     0       0       62      3618    42046   241359168     0       14      1113    17075   117530  499154169     0       4       770     14541   106416  464033170     0       11      1121    17635   117758  489985171     0       0       28      1783    23108   147872172     0       0       192     5925    55628   288215173     0       0       573     11229   83027   372478174     0       0       229     5367    46300   235769175     0       0       62      3618    42046   241359176     0       21      1509    20354   126979  508498177     0       4       770     14541   106416  464033178     0       0       484     10995   85748   388754179     0       0       639     13723   103175  454018180     0       3       816     14063   95634   405631181     0       7       748     12352   87522   385151182     0       0       108     3642    38413   216114183     0       0       0       244     6852    67217184     0       13      845     12053   84819   379355185     0       6       874     15364   108520  466088186     0       0       75      4054    47516   271697187     0       0       70      2582    26933   156592188     0       0       110     3834    39513   218940189     0       0       63      3154    35828   207492190     0       0       481     10017   75390   343754191     0       0       157     4873    45399   236180192     0       0       74      2607    26998   156672193     0       0       37      2232    27840   173254194     0       0       731     13412   94105   404080195     0       0       110     3834    39513   218940196     0       0       44      2064    24435   150035197     0       9       708     11512   84010   377967198     0       0       94      4412    47636   263595199     0       7       1096    17673   119227  499563200     0       3       763     14546   104783  454683201     0       25      1603    21184   131066  524103202     0       0       59      3385    41205   243910203     0       0       190     5800    55752   291617204     0       0       321     7827    66481   324514205     0       0       360     8410    69649   333543206     0       15      1212    18170   121734  508165207     0       3       838     15861   113416  487249208     0       0       417     9672    78628   368380209     0       0       953     17081   116885  488488210     0       12      1050    15324   98723   410584211     0       4       1235    19571   128063  523086212     0       4       792     14262   101096  440730213     0       0       34      2102    29146   184162214     0       0       110     3864    39028   214962215     0       0       447     11162   90883   420641216     0       0       399     9974    80158   373446217     0       0       0       1275    22554   159729218     0       0       20      1225    16791   115126219     0       0       0       177     4660    47212220     0       0       0       485     10666   90584221     0       0       78      2928    31614   184593222     0       0       20      1531    21582   145957223     0       0       0       529     11604   97464224     0       0       0       0       162     6642225     0       0       0       90      3630    45348226     0       0       20      1225    16791   115126227     0       0       94      3293    34789   199987228     0       0       44      2064    24435   150035229     0       0       20      1531    21582   145957230     0       0       20      1225    16791   115126231     0       0       74      2889    31548   185027232     0       0       0       539     11906   99948233     0       0       0       540     11915   99627234     0       0       78      2928    31614   184593235     0       0       114     3372    33939   192564236     0       0       113     3698    37040   206793237     0       0       0       0       606     15291238     0       0       0       331     8156    73031239     0       0       84      2846    28723   163622240     0       0       0       213     4773    46071241     0       0       0       777     17304   138536242     0       0       33      2730    34435   207483243     0       0       84      4461    51150   289037244     0       0       264     6833    60460   304773245     0       0       14      1850    27543   184579246     0       0       33      2730    34435   207483247     0       0       0       108     5598    70812248     0       6       862     14777   104138  451351249     0       0       60      3819    47296   275478250     0       0       94      3944    42796   243194251     0       0       300     7412    62980   311334252     0       0       0       864     18360   153120253     0       0       0       852     17157   131880254     0       0       0       0       2133    38646255     0       0       228     6308    57976   298218256     0       0       0       1626    29682   210876257     0       0       301     8048    70501   345034258     0       0       417     10070   80278   373521259     0       0       0       692     15454   127134260     0       0       0       1275    22554   159729261     0       0       388     9534    81121   390978262     0       0       545     12053   93896   426367263     0       0       407     9790    80347   379686264     0       0       165     5154    51738   282252265     0       5       874     14545   101784  442066266     0       0       191     5080    47678   254965267     0       0       225     5966    53406   273973268     0       0       165     5154    51738   282252269     0       0       60      3819    47296   275478270     0       3       736     13856   100032  438820271     0       0       273     6810    58064   287624272     0       0       152     4611    46200   252945273     0       54      2078    21702   124776  492020274     0       0       286     7792    69444   342696275     0       0       178     4982    46687   244840276     0       16      1362    18280   115954  476918277     0       0       348     9100    79245   386166278     0       0       178     6061    54955   278639279     0       2       650     12126   86548   387890280     0       0       92      5122    56415   310993281     0       0       460     10224   81312   379608282     0       0       33      2730    34435   207483283     0       0       268     6882    59726   298642284     0       0       94      3944    42796   243194285     0       8       942     14234   94040   404722286     0       0       80      4196    47450   269882287     0       0       42      2540    31728   191948288     0       0       400     9696    79428   375550289     0       0       0       156     7642    85212290     0       0       96      4944    54314   300888291     0       0       60      3797    45430   264050292     0       0       264     6833    60460   304773293     0       0       38      2206    29515   191779294     0       0       0       1131    22200   164859295     0       0       62      3436    40425   235837296     0       18      1425    18792   117211  478248297     0       0       358     8776    75090   365317298     0       0       130     4143    42917   242123299     0       0       356     8752    74907   365490300     0       0       417     10070   80278   373521301     0       0       537     11891   93024   424206302     0       0       0       594     13959   117387303     0       0       128     4538    42646   224296304     0       0       228     6308    57976   298218305     0       0       0       864     18360   153120306     0       0       0       1626    29682   210876307     0       0       0       0       2133    38646308     0       0       300     7412    62980   311334309     0       0       0       852     17157   131880310     0       0       261     5944    50870   258704311     0       12      1131    16496   109567  463170312     0       0       504     12434   96897   434934313     0       7       794     13186   91386   393903314     0       0       42      2454    30961   189753315     0       13      1217    18939   126248  521762316     0       14      1138    16405   106977  446693317     0       0       399     9974    80158   373446318     0       0       447     11162   90883   420641319     0       69      2323    24005   135326  521002320     0       0       507     11387   88300   398664321     0       22      1646    21785   134677  536412322     0       0       858     16260   116158  495968323     0       0       218     7849    71550   353019324     0       0       42      3561    43381   254409325     0       0       391     10419   85653   397861326     0       0       481     10017   75390   343754327     0       0       42      3561    43381   254409328     0       19      1280    17906   117239  485965329     0       0       686     13518   100813  446846330     0       3       720     12182   83256   360901331     0       0       336     8720    72424   344100332     0       0       317     8967    77218   371604333     0       2       794     14901   108179  472687334     0       8       988     14591   95016   400714335     0       0       218     7849    71550   353019336     0       0       314     7704    64150   308780337     0       0       336     8720    72424   344100338     0       18      1201    16749   107908  447972339     0       0       580     12630   97215   435713340     0       18      1287    18033   114167  468722341     0       0       507     11387   88300   398664342     0       0       789     15076   106909  459031343     0       0       703     13936   101415  442976344     0       0       478     11827   93111   420258345     0       73      2480    26078   146618  558680346     0       0       452     10030   81023   376175347     0       0       336     8531    72040   343644348     0       0       1053    21087   135486  542250349     0       8       1424    22441   144624  579127350     0       0       790     17048   127163  550291351     0       20      2542    33838   195937  727350352     0       56      3258    38269   210855  761048353     0       20      1763    25914   164922  654693354     0       30      2187    28561   170893  660011355     0       37      2562    31203   178190  666403356     0       8       1217    20815   142495  590077357     0       4       1432    23373   151925  610506358     0       65      3098    35293   197298  726451359     0       24      1908    23220   138771  547989360     0       0       310     10194   91197   441702361     0       32      1821    24309   150731  598842362     0       0       408     10436   89860   425343363     0       0       1018    19553   138152  580383364     0       39      2452    30104   174438  659970365     0       10      1459    22527   146187  592801366     0       24      1855    26129   162049  634728367     0       0       588     12440   96622   438825368     0       16      1327    20588   136471  560820369     0       79      2974    31895   177342  662000370     0       0       588     12440   96622   438825371     0       11      1284    19798   131357  544319372     0       0       408     10436   89860   425343373     0       0       601     13887   108196  486509374     0       16      1327    20588   136471  560820375     0       0       486     11812   95955   447359376     0       16      1327    20588   136471  560820377     0       0       418     10688   91701   438115378     0       32      2133    27743   167151  646281379     0       0       425     11739   97860   454680380     0       0       1329    22632   150149  613950381     0       18      2005    28737   172766  658536382     0       92      3719    40160   215124  767578383     0       158     4370    40678   210299  748451384     0       16      1253    19787   133660  556018385     0       24      1772    24498   152347  601228386     0       36      2387    31111   181854  683658387     0       0       751     15943   118459  512222388     0       0       1098    20518   134547  542505389     0       12      2157    30687   182210  684354390     0       138     3639    34315   184578  679828391     0       0       726     15652   117505  510451392     0       2       744     14796   110653  489853393     0       0       108     5436    58401   317241394     0       24      1774    25196   155268  606464395     0       0       189     7515    74232   376290396     0       36      2387    31111   181854  683658397     0       0       108     5274    58293   317223398     0       0       108     4302    45333   257283399     0       21      1380    18708   121704  504070400     0       0       108     5274    58293   317223401     0       38      2025    26285   157845  610977402     0       0       108     5274    58293   317223403     0       0       108     5436    58401   317241404     0       0       1053    21087   135486  542250405     0       5       1067    18207   124493  521971406     0       0       108     5274    58293   317223407     0       12      972     14178   98031   430885408     0       0       520     11860   94865   437919409     0       0       189     7515    74232   376290410     0       0       101     4455    51291   292485411     0       0       92      4146    49197   286869412     0       0       0       324     10503   112491413     0       0       0       0       729     18225414     0       0       0       324     10503   112491415     0       0       0       252     8229    92889416     0       0       54      2718    36585   235521`
dobrichev
2016 Supporter

Posts: 1830
Joined: 24 May 2010

Next