The New Sudoku Players' Forum

[Lummox JR]

According to my solver program (http://www.axcis.com.au/bb/viewtopic.php?t=25) you have to resort to trial and error to find that R7C5 is 4. From there it is solvable.

That's not correct -- the forcing chain method I posted does not require T&E.

But your forcing chain found only the 8 at r6c7, which doesn't crack the puzzle. T&E does. Here's my solve analysis done by hand, using the same techniques my solver would use. Perhaps my solver would find better choices for T&E or do better eliminations using advanced coloring, but here's what I get. First, starting with an advanced coloring analysis, we prove r6c7<>8:

Code: Select all

+-------------------+-------------------+-------------------+
| 7     156   456   | 2     458   146   | 3     458   9     |
|       ab    c     |         d   A e   |         D         |
| 19    3     459   | 14589 7     149   | 2     458   6     |
| Aa          C     |    D              |         d         |
| 269   269   8     | 3     45    69    | 14    7     15    |
| f     F           |       gG    Ee    | gG          Gg    |
+-------------------+-------------------+-------------------+
| 3     2678  267   | 1478  9     1247  | 5     1246  128   |
|                   |                   |          h        |
| 2689  4     25679 | 1578  258   127   | 1689  3     128   |
|              b    |       i D         |  H                |
| 289   2589  1     | 458   6     3     | 489   249   7     |
|        B          |  b                | g                 |
+-------------------+-------------------+-------------------+
| 12689 12689 269   | 469   24    5     | 7     1269  3     |
| a  j     J        | I     Ii          |                   |
| 4     2679  3     | 679   1     279   | 689   2569  258   |
|                   |             i     |  k     g     GK   |
| 5     12679 2679  | 679   3     8     | 169   1269  4     |
|                   |                   |                   |
+-------------------+-------------------+-------------------+

Colors a and A are conjugates, b and B are conjugates, and so on. If two colors appear in the same constraint they exclude each other (if one is true the other must be false), e.g. a!b means a excludes b and vice-versa. You can extend exclusions using the rule that if a!b and B!c, then a!c. Then you look for intersections of two colors in which one of the colors must be true.

a!b, a!j, A!e, D!i, g!i, G!K
G!K, so g or k or both must be true. g and k intersect at r6c7=8, so r6c7<>8.

No further insights are found by advanced coloring yet, so the next available technique (to my solver anyway) is bifurcating chains, a form of T&E. You start out with either a capital A, trying to prove that placement is true, or a lowercase a, trying to prove it's false. All capital letters support the thesis if true, all lowercase letters support it if false. Anywhere you have a false value you can propagate it to the rest of the constraint as true values (a???? -> aBBBB), and anywhere you have a constraint with just one unfilled value you can fill in with a false one (BCD? -> BCDd). If two false values share the same constraint or a constraint is filled with all true values, you have a proof.

Normally it's hard to find a good place to test for this, but I took aim at a simple target: c2r6<>4. If I could prove that it would open up some conjugate pairs (strong links, as they're also called), and it would also cause a naked pair to appear.

Code: Select all

+-------------------+-------------------+-------------------+
| 7     156   456   | 2     458   146   | 3     458   9     |
|       fEF   bCC   |       BCc   FBe   |       CdD         |
| 19    3     459   | 14589 7     149   | 2     458   6     |
| Ff          BeF   | eBCDE       BaB   |       BEd         |
| 269   269   8     | 3     45    69    | 14    7     15    |
|   E     E         |       Bb    Ed    | Cb          cC    |
+-------------------+-------------------+-------------------+
| 3     2678  267   | 1478  9     1247  | 5     1246  128   |
|       E  g  E     | FfGG         DB   |        EF   DdE   |
| 2689  4     25679 | 1578  258   127   | 1689  3     128   |
| DgEG        DF    | FfGE  cCD    D    |   ED        DDd   |
| 289   2589  1     | 458   6     3     | 49    249   7     |
| fGD   FeFD        | FFf               | Cc    EeD         |
+-------------------+-------------------+-------------------+
| 12689 12689 269   | 469   24    5     | 7     1269  3     |
| fGGGG G           | C     Cb          |       G           |
| 4     2679  3     | 679   1     279   | 689   2569  258   |
|                   |             cDD   | EdD    D    DcD   |
| 5     12679 2679  | 679   3     8     | 169   1269  4     |
|       G           |                   |   D               |
+-------------------+-------------------+-------------------+

All choices for 8 in column 1 prove r2c6<>4.
A new naked pair 19 is found in row 2.
A new pointing pair is found for digit 9 in column 6.
A new pointing pair is found for digit 1 in column 6.
A new naked pair 27 is found in column 6.
Naked single 4 at r4c6.
A new pointing pair is found for digit 2 in box 5, row 5.

Now we've reached a point where advanced coloring can show us a lot more clues.

Code: Select all

+-------------------+-------------------+-------------------+
| 7     156   456   | 2     458   16    | 3     458   9     |
|       ab    c     |         d   Aa    |         D         |
| 19    3     45    | 458   7     19    | 2     458   6     |
| Aa          Cc    | i D         aA    |         d         |
| 269   269   8     | 3     45    69    | 14    7     15    |
| f     F           |       gG    Aa    | gG          Gg    |
+-------------------+-------------------+-------------------+
| 3     2678  267   | 178   9     4     | 5     126   128   |
|                   | n                 |         h    l    |
| 689   4     5679  | 1578  258   27    | 1689  3     18    |
|             b     | N     i D   Ii    |  HK         mM    |
| 289   2589  1     | 58    6     3     | 49    249   7     |
|        B          | bB                | gG     G          |
+-------------------+-------------------+-------------------+
| 12689 12689 269   | 469   24    5     | 7     1269  3     |
| a  j     J        | I     Ii          |                   |
| 4     2679  3     | 679   1     27    | 689   2569  258   |
|                   |             iI    |  k     g    LGK   |
| 5     12679 2679  | 679   3     8     | 169   1269  4     |
|                   |                   |                   |
+-------------------+-------------------+-------------------+

a!b, a!j, b!c, B!D, C!i, D!i, D!K, D!M, g!i, G!K, G!L, G!m, H!K, K!L, K!M, m!N
B!D, so b or d or both must be true. b and d intersect at r1c5=5, so r1c5<>5.

Code: Select all

+-------------------+-------------------+-------------------+
| 7     156   456   | 2     48    16    | 3     458   9     |
|       ab    c     |       Dd    Aa    |         D         |
| 19    3     45    | 458   7     19    | 2     458   6     |
| Aa          Cc    | igD         aA    |         d         |
| 269   269   8     | 3     45    69    | 14    7     15    |
| f     F           |       gG    Aa    | gG          Gg    |
+-------------------+-------------------+-------------------+
| 3     2678  267   | 178   9     4     | 5     126   128   |
|                   | n                 |         h    l    |
| 689   4     5679  | 1578  258   27    | 1689  3     18    |
|             b     | N     igD   Ii    |  HK         mM    |
| 289   2589  1     | 58    6     3     | 49    249   7     |
|        B          | bB                | gG     G          |
+-------------------+-------------------+-------------------+
| 12689 12689 269   | 469   24    5     | 7     1269  3     |
| a  j     J        | I     Ii          |                   |
| 4     2679  3     | 679   1     27    | 689   2569  258   |
|                   |             iI    |  k     g    LGK   |
| 5     12679 2679  | 679   3     8     | 169   1269  4     |
|                   |                   |                   |
+-------------------+-------------------+-------------------+

a!b, a!j, b!c, B!D, C!i, D!g, D!i, D!K, D!M, g!i, G!K, G!L, G!m, H!K, K!L, K!M, m!N
D!D <= D!g <- G!m <- M!D
Since the color D has just excluded itself, we can place any d's.

Code: Select all

+-------------------+-------------------+-------------------+
| 7     156   456   | 2     8     16    | 3     45    9     |
|       ab    c     |             Aa    |       Cc          |
| 19    3     45    | 45    7     19    | 2     8     6     |
| Aa          Cc    | cC          aA    |                   |
| 269   269   8     | 3     45    69    | 14    7     15    |
| f     F           |       Cc    Aa    | Cc          cC    |
+-------------------+-------------------+-------------------+
| 3     2678  267   | 178   9     4     | 5     126   128   |
|                   | n                 |         h    l    |
| 689   4     5679  | 1578  25    27    | 1689  3     18    |
|             b     | N     cC    Cc    |  HK         mM    |
| 289   2589  1     | 58    6     3     | 49    249   7     |
|        B          | bB                | Cc     c          |
+-------------------+-------------------+-------------------+
| 12689 12689 269   | 469   24    5     | 7     1269  3     |
| a  j     J        | C     Cc          |                   |
| 4     2679  3     | 679   1     27    | 689   2569  258   |
|                   |             cC    |  k     C    LcK   |
| 5     12679 2679  | 679   3     8     | 169   1269  4     |
|                   |                   |                   |
+-------------------+-------------------+-------------------+

a!b, a!j, b!c, b!C, c!K, c!L, c!m, H!K, K!L, K!M, m!N
b!b <= b!c <- C!b
Since b excludes itself, B must be true. Another way to look at this is that b is excluded by both c and C, of which we know exactly one is true because they're conjugates.

A new naked pair 16 is found in row 1.

Code: Select all

+-------------------+-------------------+-------------------+
| 7     16    45    | 2     8     16    | 3     45    9     |
|       aA    cC    |             Aa    |       Cc          |
| 19    3     45    | 45    7     19    | 2     8     6     |
| Aa          Cc    | cC          aA    |                   |
| 269   269   8     | 3     45    69    | 14    7     15    |
| f     F           |       Cc    Aa    | Cc          cC    |
+-------------------+-------------------+-------------------+
| 3     2678  267   | 17    9     4     | 5     126   128   |
|          j        | nN                |         h    lJ   |
| 689   4     679   | 157   25    27    | 1689  3     18    |
|  J                | Nc    cC    Cc    |  HK         mM    |
| 29    5     1     | 8     6     3     | 49    249   7     |
| oO                |                   | Cc    Oc          |
+-------------------+-------------------+-------------------+
| 12689 12689 269   | 469   24    5     | 7     1269  3     |
| a  j     J        | C     Cc          |                   |
| 4     2679  3     | 679   1     27    | 689   2569  258   |
|                   |             cC    |  k     C    LcK   |
| 5     12679 2679  | 679   3     8     | 169   1269  4     |
|                   |                   |                   |
+-------------------+-------------------+-------------------+

a!j, a!O, c!K, c!L, c!m, c!N, c!O, f!o, H!K, J!K, J!l, J!M, K!L, K!M, l!O, m!N
f!l <= f!o <- O!l
F or L or both must be true. F and L intersect at r8c2=2, so r8c2<>2.

Code: Select all

+-------------------+-------------------+-------------------+
| 7     16    45    | 2     8     16    | 3     45    9     |
|       aA    cC    |             Aa    |       Cc          |
| 19    3     45    | 45    7     19    | 2     8     6     |
| Aa          Cc    | cC          aA    |                   |
| 269   269   8     | 3     45    69    | 14    7     15    |
| f     F           |       Cc    Aa    | Cc          cC    |
+-------------------+-------------------+-------------------+
| 3     2678  267   | 17    9     4     | 5     126   128   |
|          j        | nN                |         h    lJ   |
| 689   4     679   | 157   25    27    | 1689  3     18    |
|  J                | Nc    cC    Cc    |  HK         mM    |
| 29    5     1     | 8     6     3     | 49    249   7     |
| oO                |                   | Cc    Oc          |
+-------------------+-------------------+-------------------+
| 12689 12689 269   | 469   24    5     | 7     1269  3     |
| a  j     J        | C     Cc          |                   |
| 4     679   3     | 679   1     27    | 689   2569  258   |
|                   |             cC    |  k     C    LcK   |
| 5     12679 2679  | 679   3     8     | 169   1269  4     |
|                   |                   |                   |
+-------------------+-------------------+-------------------+

c!f <= c!O <- o!f
C or F or both must be true. C and F intersect at r7c2=2, so r7c2<>2.

Code: Select all

+-------------------+-------------------+-------------------+
| 7     16    45    | 2     8     16    | 3     45    9     |
|       aA    cC    |             Aa    |       Cc          |
| 19    3     45    | 45    7     19    | 2     8     6     |
| Aa          Cc    | cC          aA    |                   |
| 269   269   8     | 3     45    69    | 14    7     15    |
| f     F           |       Cc    Aa    | Cc          cC    |
+-------------------+-------------------+-------------------+
| 3     2678  267   | 17    9     4     | 5     126   128   |
|          j        | nN                |         h    lJ   |
| 689   4     679   | 157   25    27    | 1689  3     18    |
|  J                | Nc    cC    Cc    |  HK         mM    |
| 29    5     1     | 8     6     3     | 49    249   7     |
| oO                |                   | Cc    Oc          |
+-------------------+-------------------+-------------------+
| 12689 1689  269   | 469   24    5     | 7     1269  3     |
| a  j    J         | C     Cc          |                   |
| 4     679   3     | 679   1     27    | 689   2569  258   |
|                   |             cC    |  k     C    LcK   |
| 5     12679 2679  | 679   3     8     | 169   1269  4     |
|                   |                   |                   |
+-------------------+-------------------+-------------------+

a!j, a!O, c!K, c!L, c!m, c!N, c!O, f!o, H!K, J!K, J!l, J!M, K!L, K!M, l!O, m!N
a!j, so A or J or both are true. A and J intersect at r7c2=6, so r7c2<>6.

Code: Select all

+-------------------+-------------------+-------------------+
| 7     16    45    | 2     8     16    | 3     45    9     |
|       aA    cC    |             Aa    |       Cc          |
| 19    3     45    | 45    7     19    | 2     8     6     |
| Aa          Cc    | cC          aA    |                   |
| 269   269   8     | 3     45    69    | 14    7     15    |
| f     F           |       Cc    Aa    | Cc          cC    |
+-------------------+-------------------+-------------------+
| 3     2678  267   | 17    9     4     | 5     126   128   |
|          j        | nN                |         h    lJ   |
| 689   4     679   | 157   25    27    | 1689  3     18    |
|  J                | Nc    cC    Cc    |  HK         mM    |
| 29    5     1     | 8     6     3     | 49    249   7     |
| oO                |                   | Cc    Oc          |
+-------------------+-------------------+-------------------+
| 12689 189   269   | 469   24    5     | 7     1269  3     |
| a  j   J          | C     Cc          |                   |
| 4     679   3     | 679   1     27    | 689   2569  258   |
|                   |             cC    |  k     C    LcK   |
| 5     12679 2679  | 679   3     8     | 169   1269  4     |
|                   |                   |                   |
+-------------------+-------------------+-------------------+

a!j, c!K, c!L, c!m, c!N, c!O, f!o, H!K, J!K, J!l, J!M, K!L, K!M, l!O, m!N
c!O, so C or o or both are true. C and o intersect at r7c1=2, so r7c1<>2.

At last we've again reached a point where advanced coloring can no longer help, so we turn back to bifurcating chains. A likely target appears in row 6 where the cells have candidates 29, 49, and 249 respectively. A common pattern is for that third cell to be 24, so I decided to test r6c8<>9.

Code: Select all

+-------------------+-------------------+-------------------+
| 7     16    45    | 2     8     16    | 3     45    9     |
|       jJ    Cc    |             Kj    |       bC          |
| 19    3     45    | 45    7     19    | 2     8     6     |
| K           cD    | Dd                |                   |
| 269   269   8     | 3     45    69    | 14    7     15    |
| C     cDD         |       cD    K     | cC          Dc    |
+-------------------+-------------------+-------------------+
| 3     2678  267   | 17    9     4     | 5     126   128   |
|       CJGj  C     |                   |       GfG    FK   |
| 689   4     679   | 157   25    27    | 1689  3     18    |
| H           H K   |  E    Ed    eF    | DgGB              |
| 29    5     1     | 8     6     3     | 49    249   7     |
| bB                |                   | bB    BBa         |
+-------------------+-------------------+-------------------+
| 1689  189   269   | 469   24    5     | 7     1269  3     |
|  J K  KKK   EJj   | dEE   dD          |       JEiB        |
| 4     679   3     | 679   1     27    | 689   2569  258   |
|       iFI         | IFh         Ee    | GfG   DcDB  eDF   |
| 5     12679 2679  | 679   3     8     | 169   1269  4     |
|       GDGfG eFFF  | hFH               | DHg   iFIB        |
+-------------------+-------------------+-------------------+

All choices for r7c2 prove that r6c8<>9.
A new pointing pair is found for digit 9 in box 6, column 7.

Now we can go back to advanced coloring for the rest.

Code: Select all

+-------------------+-------------------+-------------------+
| 7     16    45    | 2     8     16    | 3     45    9     |
|       aA    cC    |             Aa    |       Cc          |
| 19    3     45    | 45    7     19    | 2     8     6     |
| Aa          Cc    | cC          aA    |                   |
| 269   269   8     | 3     45    69    | 14    7     15    |
| C     c           |       Cc    Aa    | Cc          cC    |
+-------------------+-------------------+-------------------+
| 3     2678  267   | 17    9     4     | 5     126   128   |
|          j        | nN                |         h    lJ   |
| 689   4     679   | 157   25    27    | 1689  3     18    |
|  J                | Nc    cC    Cc    |  HKC        mM    |
| 29    5     1     | 8     6     3     | 49    24    7     |
| cC                |                   | Cc    Cc          |
+-------------------+-------------------+-------------------+
| 1689  189   269   | 469   24    5     | 7     1269  3     |
| a j    J          | C     Cc          |                   |
| 4     679   3     | 679   1     27    | 68    2569  258   |
|                   |             cC    | Kk     C    LcK   |
| 5     12679 2679  | 679   3     8     | 16    1269  4     |
|                   |                   | pP                |
+-------------------+-------------------+-------------------+

a!C, a!j, c!K, c!L, c!m, c!N, C!H, C!K, C!l, C!p, H!K, J!K, J!l, J!M, K!L, K!M, K!P, m!N
K!K <= K!c <- C!K

Code: Select all

+-------------------+-------------------+-------------------+
| 7     16    45    | 2     8     16    | 3     45    9     |
|       aA    cC    |             Aa    |       Cc          |
| 19    3     45    | 45    7     19    | 2     8     6     |
| Aa          Cc    | cC          aA    |                   |
| 269   269   8     | 3     45    69    | 14    7     15    |
| C     c           |       Cc    Aa    | Cc          cC    |
+-------------------+-------------------+-------------------+
| 3     2678  267   | 17    9     4     | 5     126   128   |
|          j        | nN                |         h    cJ   |
| 689   4     679   | 157   25    27    | 169   3     18    |
|  J                | Nc    cC    Cc    |  HC         Jj    |
| 29    5     1     | 8     6     3     | 49    24    7     |
| cC                |                   | Cc    Cc          |
+-------------------+-------------------+-------------------+
| 1689  189   269   | 469   24    5     | 7     1269  3     |
| a j    J          | C     Cc          |                   |
| 4     679   3     | 679   1     27    | 8     2569  25    |
|                   |             cC    |        C    Cc    |
| 5     12679 2679  | 679   3     8     | 16    1269  4     |
|                   |                   | Hh                |
+-------------------+-------------------+-------------------+

a!C, a!j, c!J, c!N, C!H, J!N
c and C intersect at r4c8=2, so r4c8<>2.
c and C intersect at r8c8=2, so r8c8<>2.
a!a <= a!C <- c!J <- j!a

A new naked pair 29 is found in column 1.

Code: Select all

+-------------------+-------------------+-------------------+
| 7     6     45    | 2     8     1     | 3     45    9     |
|             cC    |                   |       Cc          |
| 1     3     45    | 45    7     9     | 2     8     6     |
|             Cc    | cC                |                   |
| 29    29    8     | 3     45    6     | 14    7     15    |
| Cc    cC          |       Cc          | Cc          cC    |
+-------------------+-------------------+-------------------+
| 3     2678  267   | 17    9     4     | 5     16    128   |
|          j        | nN                |       Hh     cJ   |
| 68    4     679   | 157   25    27    | 169   3     18    |
| jJ            c   | Nc    cC    Cc    |  HC         Jj    |
| 29    5     1     | 8     6     3     | 49    24    7     |
| cC                |                   | Cc    Cc          |
+-------------------+-------------------+-------------------+
| 68    189   269   | 469   24    5     | 7     1269  3     |
| Jj     J          | C     Cc          |                   |
| 4     79    3     | 679   1     27    | 8     569   25    |
|       qQ          |             cC    |       C     Cc    |
| 5     1279  2679  | 679   3     8     | 16    1269  4     |
|                   |                   | Hh                |
+-------------------+-------------------+-------------------+

c!J, c!N, C!H, C!q, C!Q, H!n, J!N
C!C <= C!q <= Q!C
c!J,N
n!H

Once you prove C excludes itself and so c is true, since you know c!J and c!N, j and n must also be true. And since n!H, h is true. Once you've placed all the c's, h's, j's, and n's, you have very simple eliminations from there out.

[r.e.s.]

According to my solver program (http://www.axcis.com.au/bb/viewtopic.php?t=25) you have to resort to trial and error to find that R7C5 is 4. From there it is solvable.

That's not correct -- the forcing chain method I posted does not require T&E.

But your forcing chain found only the 8 at r6c7, which doesn't crack the puzzle. T&E does.

I said the forcing chain method (not the one chain alone). I mentioned that rubylips' solver cracks this puzzle using a variety of chains -- but it's true that one of them is not the garden variety of forcing chain, so it may be less certain than I suggested that T&E is not required.(?)

[Jeff]

According to my solver program (http://www.axcis.com.au/bb/viewtopic.php?t=25) you have to resort to trial and error to find that R7C5 is 4. From there it is solvable.

That's not correct -- the forcing chain method I posted does not require T&E.

But your forcing chain found only the 8 at r6c7, which doesn't crack the puzzle. T&E does.

I said the forcing chain method (not the one chain alone). I mentioned that rubylips' solver cracks this puzzle using a variety of chains -- but it's true that one of them is not the garden variety of forcing chain, so it may be less certain than I suggested that T&E is not required.(?)

Forcing chain itself is not T&E, but the process for finding forcing chain may be.

T&E process:

• For each and every cell, enter one canddidate at a time, record implications until a contradiction is found. More often than not, Forcing nets instead of forcing chains are resulted.
• Entering each candidate of a starting cell into a computer solver, and then compare the output results for any single cell which is reduced to an identical single value. This single value cell is then routed back to the starting cell to obtain the forcing chain.

Non-T&E Process:

• Advanced colouring by labelling colours to all conjugates and identify key patterns.
• bilocation/bivalue plot by drawing all bilocation and bivalue chain links and identify nice loops.

Identification of forcing chains by computer solvers is outside the scope of this discussion because these processes are not manual, and perhaps not human executable.

[r.e.s.]

According to my solver program (http://www.axcis.com.au/bb/viewtopic.php?t=25) you have to resort to trial and error to find that R7C5 is 4. From there it is solvable.

That's not correct -- the forcing chain method I posted does not require T&E.

But your forcing chain found only the 8 at r6c7, which doesn't crack the puzzle. T&E does.

I said the forcing chain method (not the one chain alone). I mentioned that rubylips' solver cracks this puzzle using a variety of chains -- but it's true that one of them is not the garden variety of forcing chain, so it may be less certain than I suggested that T&E is not required.(?)

Forcing chain itself is not T&E, but the process for finding forcing chain may be.

Ok, but I think the question is not whether finding a chain might involve T&E, but whether it necessarily involves T&E any more than does searching for a hidden pair (say). (Possibly that's not the kind of T&E the OP had in mind, anyway.)

[Lummox JR]

One reason I don't even use forcing chains is that the tools I have at hand suffice to solve all puzzles, and can be done manually. Granted, advanced coloring and bifurcating chains are not easy processes to do by hand, but they are doable.

[Jeff]

One reason I don't even use forcing chains is that the tools I have at hand suffice to solve all puzzles, and can be done manually. Granted, advanced coloring and bifurcating chains are not easy processes to do by hand, but they are doable.

Advanced colouring is equivalent to forcing chain, in which the linkages are substituted by colouring labels.

I wonder if the bifurcating chains under reference are the ones described by Nick70 in his post here. Each bifurcating chain described by Nick70 has n-implications where n>2. They are not identifiable by hand. Bilocation/bivalue plot can be used to manually identify chains up to 3 implications, but that is the limit and definitely not easy.

[Jeff]

Lummox JR

I think your bifurcating chains are not the same as Nick70's. Before resorting to that, there is another non-T&E technique that can be used to eliminate 2 more candidates, ie. Implied Naked Subset.

Code: Select all

+-------------------+--------------------+-------------------+
| 7     156   456   | 2     <458>  146   | 3     458   9     |
|<19>   3     459   |<14589> 7    <149>  | 2     458   6     |
| 269   269   8     | 3     <45>   69    | 14    7     15    |
+-------------------+--------------------+-------------------+
| 3     2678  267   | 1478   9     1247  | 5     1246  128   |
| 2689  4     25679 | 1578   258   127   | 1689  3     128   |
| 289   2589  1     | 458    6     3     | 489   249   7     |
+-------------------+--------------------+-------------------+
| 12689 12689 269   | 469    24    5     | 7     1269  3     |
| 4     2679  3     | 679    1     279   | 689   2569  258   |
| 5     12679 2679  | 679    3     8     | 169   1269  4     |
+-------------------+--------------------+-------------------+

Implied naked triple:
r2c1=19 => [r1c5]-[r2c4]-[r2c6]-[r3c5] form a naked triple of 458,
therefore all other 458 in box 2 can be eliminated => r1c6<>4

Implied naked pair:
r1c5=458 and r3c5=45 => [r2c1]-[r2c4]-[r2c6] form a naked pair of 19,
therefore all other 19 in column 2 can be eliminated => r2c3<>9

These deductions are so easy to spot that they should be carried out even before advanced colouring or bilocation/bivalue plot.

[Lummox JR]

Lummox JR

I think your bifurcating chains are not the same as Nick70's.

The method is identical. The only difference is that in the two cases I used I started with a instead of A, trying to prove a negative. The same technique will work both ways. And it can certainly be done by hand, although it requires a good eye and patience; my analysis was done by hand.

Interesting note on the implied subsets there. I've never looked into those before.

[Jeff]

Interesting note on the implied subsets there. I've never looked into those before.

There have been some discussions here.