The New Sudoku Players' Forum

[totuan]

Code: Select all

.2345....45.7.9...7.9.325.....9.73...9....46..3......137..94.25..2.......4527....;602886;32;3;10.6;10.4;10.4;DCFC+FC

Code: Select all

 *-----------------------------------------------------------------------------*
 | 168     2       3       | 4       5       168     | 16789   1789    6789    |
 | 4       5       168     | 7       168     9       | 1268    138     2368    |
 | 7       168     9       | 168     3       2       | 5       148     468     |
 |-------------------------+-------------------------+-------------------------|
 | 12568   168     1468    | 9       12468   7       | 3       58      28      |
 | 1258    9       178     | 1358    128     1358    | 4       6       278     |
 | 2568    3       4678    | 568     2468    568     | 2789    5789    1       |
 |-------------------------+-------------------------+-------------------------|
 | 3       7       168     | 168     9       4       | 168     2       5       |
 | 1689    168     2       | 13568   168     13568   | 16789   134789  346789  |
 | 1689    4       5       | 2       7       1368    | 1689    1389    3689    |
 *-----------------------------------------------------------------------------*

A nice puzzle with RT, I'm not yet to find a nice finish, but quite interesting at start

Thanks to mith for the puzzle!
totuan

[denis_berthier]

.
I haven't coded RT, but I have coded your pattern. I find it at the start (with 7 guardians), together with a tridagon with 2 guardians.

Code: Select all

Resolution state after Singles and whips[1]:
   +----------------------+----------------------+----------------------+
   ! 168    2      3      ! 4      5      168    ! 16789  1789   6789   !
   ! 4      5      168    ! 7      168    9      ! 1268   138    2368   !
   ! 7      168    9      ! 168    3      2      ! 5      148    468    !
   +----------------------+----------------------+----------------------+
   ! 12568  168    1468   ! 9      12468  7      ! 3      58     28     !
   ! 1258   9      178    ! 1358   128    1358   ! 4      6      278    !
   ! 2568   3      4678   ! 568    2468   568    ! 2789   5789   1      !
   +----------------------+----------------------+----------------------+
   ! 3      7      168    ! 168    9      4      ! 168    2      5      !
   ! 1689   168    2      ! 13568  168    13568  ! 16789  134789 346789 !
   ! 1689   4      5      ! 2      7      1368   ! 1689   1389   3689   !
   +----------------------+----------------------+----------------------+
182 candidates.

Code: Select all

OR2-anti-tridagon[12] for digits 1, 6 and 8 in blocks:
        b1, with cells: r1c1, r2c3, r3c2
        b2, with cells: r1c6, r2c5, r3c4
        b7, with cells: r9c1, r7c3, r8c2
        b8, with cells: r9c6, r7c4, r8c5
with 2 guardians: n9r9c1 n3r9c6

OR7-anti-totuan[15] for digits 1, 6 and 8
   3-cell-blocks:
        b2, with cells: c6r1, c4r3, c5r2
        b1, with cells: c1r1, c2r3, c3r2
        b7, with cells: c1r8, c2r8, c3r7
   2-cell-block:
        b8, with cells: c4r7, c5r8
   1-cell-blocks:
        b5, with cell: c5r4
        b4, with cell: c1r4
        b3, with cell: c7r1
        b9, with cell: c7r7
with 7 guardians: n7r1c7 n9r1c7 n2r4c1 n5r4c1 n2r4c5 n4r4c5 n9r8c1

SudoRules finds Tridagon eliminations, but none with your pattern (probably too many guardians).
Trid-OR2-whip[5]: r8n4{c9 c8} - r8n7{c8 c7} - r8n9{c7 c1} - OR2{{n9r9c1 | n3r9c6}} - b9n3{r9c8 .} ==> r8c9≠8, r8c9≠6
Trid-OR2-whip[5]: r8n4{c8 c9} - r8n7{c9 c7} - r8n9{c7 c1} - OR2{{n9r9c1 | n3r9c6}} - b9n3{r9c8 .} ==> r8c8≠8, r8c8≠1

Code: Select all

   +-------------------+-------------------+-------------------+
   ! 168   2     3     ! 4     5     168   ! 16789 1789  6789  !
   ! 4     5     168   ! 7     168   9     ! 1268  138   2368  !
   ! 7     168   9     ! 168   3     2     ! 5     148   468   !
   +-------------------+-------------------+-------------------+
   ! 12568 168   1468  ! 9     12468 7     ! 3     58    28    !
   ! 1258  9     178   ! 1358  128   1358  ! 4     6     278   !
   ! 2568  3     4678  ! 568   2468  568   ! 2789  5789  1     !
   +-------------------+-------------------+-------------------+
   ! 3     7     168   ! 168   9     4     ! 168   2     5     !
   ! 1689  168   2     ! 13568 168   13568 ! 16789 3479  3479  !
   ! 1689  4     5     ! 2     7     1368  ! 1689  1389  3689  !
   +-------------------+-------------------+-------------------+

[Cenoman]

Code: Select all

 +-----------------------+--------------------------+----------------------------+
 |  168*    2     3      |  4       5       168*    |  16789   1789     6789     |
 |  4       5     168*   |  7       168*    9       |  1268    138      2368     |
 |  7       168*  9      |  168*    3       2       |  5       148      468      |
 +-----------------------+--------------------------+----------------------------+
 |  12568   168   1468   |  9       12468   7       |  3       58       28       |
 |  1258    9     178    |  1358    128     1358    |  4       6        278      |
 |  2568    3     4678   |  568     2468    568     |  2789    5789     1        |
 +-----------------------+--------------------------+----------------------------+
 |  3       7     168*   |  168*    9       4       | a168     2        5        |
 |  1689    168*  2      |  13568   168*    13568   |  16789   134789   346789   |
 | a1689*   4     5      |  2       7      a1368*   |  1689    1389     3689     |
 +-----------------------+--------------------------+----------------------------+

TH(168)b1278 having two guardians (9r9c1, 3r9c6), both at a vertex of rectangle r19c16
Guardians are exclusive from each other:
(3)r9c6 - (3=1689)b9p1789 - (9)r9c1 => one and only one is True => potential RTs at r1c16, r9c1 or r1c16, r9c6
Other inference: +(3|9) r8c789, i.e. +(3479)r8c789 => -168 r8c789; ER b9 for (1, 6, 8)
=> Whichever digit a in (1,6,8) is True at r9c1|r9c6 is also True at r7c7 => RT(168) r1c16, r7c7 => -168 r1c7; lcls, 6 placements

Resolution state after -168 r8c789, r1c7:

Code: Select all

 +---------------------+-------------------------+----------------------+
 |  168    2     3     |  4       5      168     |  79     178   689    |
 |  4      5     168   |  7       168    9       |  1268   138   2368   |
 |  7      168   9     |  168     3      2       |  5      148   468    |
 +---------------------+-------------------------+----------------------+
 |  1268   168   4     |  9       1268   7       |  3      5     28     |
 |  1258   9     18    |  1358    128    1358    |  4      6     7      |
 |  2568   3     7     |  568     4      568     |  28     9     1      |
 +---------------------+-------------------------+----------------------+
 |  3      7     168   |  168     9      4       |  168    2     5      |
 |  1689   168   2     |  13568   168    13568   |  79     347   349    |
 |  1689   4     5     |  2       7      1368    |  168    138   3689   |
 +---------------------+-------------------------+----------------------+

The SE rating is lowered to 9.0 (End not so easy )

[marek stefanik]

Similar start to Cenoman's (same elims, slightly different presentation):

Code: Select all

.------------------.---------------------.-----------------------.
|*#168   2    3    | 4      5    *#168   | 79–168 1789    6789   |
| 4      5   #168  | 7     #168    9     | 1268   138     2368   |
| 7     #168  9    |#168    3      2     | 5      148     468    |
:------------------+---------------------+-----------------------:
| 12568  168  1468 | 9      12468  7     | 3      58      28     |
| 1258   9    178  | 1358   128    1358  | 4      6       278    |
| 2568   3    4678 | 568    2468   568   | 2789   5789    1      |
:------------------+---------------------+-----------------------:
| 3      7   #168  |#168    9      4     | 168    2       5      |
| 9+168 #168  2    | 35+168#168    35+168| 79–168 3479–18 3479–68|
|*#1689  4    5    | 2      7    *#1368  | 1689   1389    3689   |
'------------------'---------------------'-----------------------'

TH 168# externals 168r8c146 => triple with r8c25 => –168r8c789
The digit in r7c7 appears in r9c16 => only one internal, at the rectangle => RTs, 168 each appear at r19c16 (*).
168b9* \ r19c7 => –168r1c7

After basics, this is where RTs truly shine:

Code: Select all

.----------------.--------------------.-----------------.
|*168   2    3   | 4      5    *168   | 79    178  689  |
| 4     5   #168 | 7     #168   9     | 1268  138  2368 |
| 7    *168  9   |*168    3     2     | 5     148  468  |
:----------------+--------------------+-----------------:
| 1268  168  4   | 9      1268  7     | 3     5    28   |
| 1258  9    18  | 1358   128   1358  | 4     6    7    |
| 2568  3    7   | 568    4     568   | 28    9    1    |
:----------------+--------------------+-----------------:
| 3     7   #168 |*168    9     4     | 168   2    5    |
| 1689 *168  2   | 13568 #168   13568 | 79    347  349  |
|*1689  4    5   | 2      7    *1368  | 168   138  3689 |
'----------------'--------------------'-----------------'

Since there is only one internal, either it is in r9c1, making r2c35 r8c5 a RT, or in r9c6, making r2c35 r7c3 a RT => each of 168 has to appear in #-marked cells.
1r4# \ c35b4 => –1r5c3, 8r5c3, 8# \ c5 => –8r4c5

Then after basics and a skyscraper 8r27:

Code: Select all

.------------.-------------------.-------------.
| 18   2   3 | 4      5    16    | 79  78  69  |
| 4    5   6 | 7      8    9     | 1   3   2   |
| 7    1–8 9 |a16     3    2     | 5   48  46  |
:------------+-------------------+-------------:
| 126 d16  4 | 9      126  7     | 3   5   8   |
| 125  9   8 | 135    12   135   | 4   6   7   |
|c56   3   7 |b568    4    568   | 2   9   1   |
:------------+-------------------+-------------:
| 3    7   1 |a68     9    4     | 68  2   5   |
| 689  68  2 | 13568  16   13568 | 79  47  349 |
| 689  4   5 | 2      7    368   | 68  1   39  |
'------------'-------------------'-------------'

(1=68)r37c4 – (6|8=5)r6c4 – (5=6)r6c1 – (6=1)r4c2 => –1r3c2, stte

Marek

[totuan]

Thanks for your solutions, especially marek’s very nice path.

After basics, this is where RTs truly shine

Yes, thank you for sharing that.
My path for this one – not nice

Code: Select all

 *-----------------------------------------------------------------------------*
 |*168     2       3       | 4       5      *168     | 16789   1789    6789    |
 | 4       5      *168     | 7      *168     9       | 1268    138     2368    |
 | 7      *168     9       |*168     3       2       | 5       148     468     |
 |-------------------------+-------------------------+-------------------------|
 | 12568   168     1468    | 9       12468   7       | 3       58      28      |
 | 1258    9       178     | 1358    128     1358    | 4       6       278     |
 | 2568    3       4678    | 568     2468    568     | 2789    5789    1       |
 |-------------------------+-------------------------+-------------------------|
 | 3       7      *168     |*168     9       4       | 168     2       5       |
 |#1689   *168     2       |#13568  *168    #13568   | 79-168  3479-18 3479-68 |
 |*1689    4       5       | 2       7      *1368    | 1689    1389    3689    |
 *-----------------------------------------------------------------------------*

Tridagon(168) * marked cells => (9)r9c1=(3)r9c6
01: (168=9)r8c125-(9)r9c1==(3)r9c6-(3=1568)r8c2456 => r8c789<>168

Code: Select all

 *-----------------------------------------------------------------------------*
 |*168RT   2       3       | 4       5      *168RT   | 79-168  1789    6789    |
 | 4       5      *168     | 7      *168     9       | 1268    138     2368    |
 | 7      *168     9       |*168     3       2       | 5       148     468     |
 |-------------------------+-------------------------+-------------------------|
 | 12568   168     1468    | 9       12468   7       | 3       58      28      |
 | 1258    9       178     | 1358    128     1358    | 4       6       278     |
 | 2568    3       4678    | 568     2468    568     | 2789    5789    1       |
 |-------------------------+-------------------------+-------------------------|
 | 3       7      *168     |*168     9       4       | 168#    2       5       |
 | 1689   *168     2       | 13568  *168     13568   | 79      3479    3479    |
 |*1689RT  4       5       | 2       7      *1368RT  | 1689    1389    3689    |
 *-----------------------------------------------------------------------------*

02: Look at:
- Tridagon(168) * marked cells => (9)r9c1=(3)r9c6
- 9r9c1 & 3r9c6 can’t both true by (135689)r8c12456 => Form RT(168) at r19c16
- Whichever(1|6|8) at r9c1 or r9c6 => lead to r7c7 by (168)B9 => RT(168)r1c16/r7c7
=> r1c7<>168, some singles

Code: Select all

 *--------------------------------------------------------------------*
 |*168RT  2      3      | 4      5     *168RT  | 79     178    689    |
 | 4      5     *168    | 7     *168    9      | 1268   138    2368   |
 | 7     *168    9      |*168    3      2      | 5      148    468    |
 |----------------------+----------------------+----------------------|
 |*1268  *168    4      | 9     *1268   7      | 3      5      8-2    |
 | 1258   9     *18     | 1358   128    1358   | 4      6      7      |
 | 2568   3      7      | 568    4      568    | 28     9      1      |
 |----------------------+----------------------+----------------------|
 | 3      7     *168    |*168    9      4      |*168RT  2      5      |
 | 1689  *168    2      | 13568 *168    13568  | 79     347    349    |
 | 1689   4      5      | 2      7      1368   | 168    138    3689   |
 *--------------------------------------------------------------------*

Impossible pattern(168) & RT(168) * marked cells => (2)r4c1=(2)r4c5

Hidden Text: Show

Code: Select all

 *-----------------------------------------------------------*
 | 168   .     .     | .     .     168   | .     .     .     |
 | .     .     168   | .     168   .     | .     .     .     |
 | .     168   .     | 168   .     .     | .     .     .     |
 |-------------------+-------------------+-------------------|
 |A168   168   .     | .     168   .     | .     .     .     |
 | .     .     18    | .     .     .     | .     .     .     |
 | .     .     .     | .     .     .     | .     .     .     |
 |-------------------+-------------------+-------------------|
 | .     .     168   | 168   .     .     | 168   .     .     |
 | .     168   .     | .     168   .     | .     .     .     |
 | .     .     .     | .     .     .     | .     .     .     |
 *-----------------------------------------------------------*
A=(1|6|8) => impossible
Prove: A=1 =>
 *-----------------------------------------------------------*
 | 68    .     .     | .     .     168   | .     .     .     |
 | .     .     68-1  | .    d168   .     | .     .     .     |
 | .    a168   .     | 168   .     .     | .     .     .     |
 |-------------------+-------------------+-------------------|
 | 1     68    .     | .     68    .     | .     .     .     |
 | .     .     8     | .     .     .     | .     .     .     |
 | .     .     .     | .     .     .     | .     .     .     |
 |-------------------+-------------------+-------------------|
 | .     .     168   | 168   .     .     | 168   .     .     |
 | .    b168   .     | .    c168   .     | .     .     .     |
 | .     .     .     | .     .     .     | .     .     .     |
 *-----------------------------------------------------------*
1’s abcd => r2c3<>1 => r3c2=1, r7c3=1 => r7c7<>1 => RT(168) r1c6=1 => r8c5=1
 *-----------------------------------------------------------*
 | 68    .     .     | .     .     1     | .     .     .     |
 | .     .    *68    | .    *68    .     | .     .     .     |
 | .     1     .     | 68    .     .     | .     .     .     |
 |-------------------+-------------------+-------------------|
 | 1    *68    .     | .    *68    .     | .     .     .     |
 | .     .    *8     | .     .     .     | .     .     .     |
 | .     .     .     | .     .     .     | .     .     .     |
 |-------------------+-------------------+-------------------|
 | .     .     1     | 68    .     .     | 68   .     .     |
 | .     68    .     | .     1     .     | .     .     .     |
 | .     .     .     | .     .     .     | .     .     .     |
 *-----------------------------------------------------------*
Oddagon(68) => impossible, the same for A=(6|8)
Note: without r7c7 the pattern is also impossible but for proving needs one more step.

03: Impossible pattern(168): (2)r4c15 => r4c9<>2, some singles
From here - ER-8.3

Code: Select all

 *--------------------------------------------------------------------*
 | 168    2      3      | 4      5      168    | 79     178    69     |
 | 4      5      6-8    | 7     d168    9      | 18     3      2      |
 | 7     a18     9      | 16-8   3      2      | 5      148    46     |
 |----------------------+----------------------+----------------------|
 | 126    16     4      | 9      126    7      | 3      5      8      |
 | 1258   9      18     | 1358   12-8   1358   | 4      6      7      |
 | 568    3      7      | 568    4      568    | 2      9      1      |
 |----------------------+----------------------+----------------------|
 | 3      7      168    | 168    9      4      | 168    2      5      |
 | 1689  b168    2      | 13568 c168    13568  | 79     47     349    |
 | 1689   4      5      | 2      7      1368   | 168    18     39     |
 *--------------------------------------------------------------------*

04: (8)r5c13=(8-5)r6c1=(5-2)r5c1=r5c5 => r5c5<>8
05: 8’s abcd => r2c3,r3c4<>8

Code: Select all

 *--------------------------------------------------------------------*
 | 168    2      3      | 4      5      168    | 79     178    69     |
 | 4      5     *16     | 7      8-16   9      | 18     3      2      |
 | 7      18     9      |*16     3      2      | 5      148    46     |
 |----------------------+----------------------+----------------------|
 | 126    16     4      | 9      126    7      | 3      5      8      |
 | 1258   9      18     | 1358   12     1358   | 4      6      7      |
 | 568    3      7      | 568    4      568    | 2      9      1      |
 |----------------------+----------------------+----------------------|
 | 3      7     *168    |*168    9      4      | 168    2      5      |
 | 1689   168    2      | 13568  168    13568  | 79     47     349    |
 | 1689   4      5      | 2      7      1368   | 168    18     39     |
 *--------------------------------------------------------------------*

Remote Pair(16) * marked cells
07: Present as diagram: => r2c5<>16, some singles

Code: Select all

RP(16)r27c3/r37c4
 ||
(8)r7c3-(8=1)r5c3-r2c3/r4c12=(16)r2c3/r4c5
 ||
(8)r7c4-r8c5=r2c5

Code: Select all

 *--------------------------------------------------------------------*
 | 18     2      3      | 4      5      16     | 79     78     69     |
 | 4      5      6      | 7      8      9      | 1      3      2      |
 | 7     c18     9      |d16     3      2      | 5      48     46     |
 |----------------------+----------------------+----------------------|
 | 126    16     4      | 9      126    7      | 3      5      8      |
 | 1258   9      18     | 1358   12     1358   | 4      6      7      |
 | 568    3      7      | 568    4      568    | 2      9      1      |
 |----------------------+----------------------+----------------------|
 | 3      7     a18     | 68-1   9      4      | 68     2      5      |
 | 1689  b168    2      | 13568  16     13568  | 79     47     349    |
 | 689    4      5      | 2      7      368    | 68     1      39     |
 *--------------------------------------------------------------------*

07: (1=8)r7c3-r8c2=(8-1)3c2=r3c4 => r7c4<>1, some singles

Code: Select all

 *--------------------------------------------------------------------*
 | 18     2      3      | 4      5      16     | 79     78     69     |
 | 4      5      6      | 7      8      9      | 1      3      2      |
 | 7     d18     9      |e1-6    3      2      | 5      48     46     |
 |----------------------+----------------------+----------------------|
 | 126   c16     4      | 9      126    7      | 3      5      8      |
 | 125    9      8      | 135    12     135    | 4      6      7      |
 |b56     3      7      |a568    4      568    | 2      9      1      |
 |----------------------+----------------------+----------------------|
 | 3      7      1      |a68     9      4      | 68     2      5      |
 | 689    68     2      | 13568  16     13568  | 79     47     349    |
 | 689    4      5      | 2      7      368    | 68     1      39     |
 *--------------------------------------------------------------------*

08: (68=5)r67c4-(5=6)r6c1-(6=1)r4c2-r3c2=r3c4 => r3c4<>6, stte

totuan

[marek stefanik]

Note: without r7c7 the pattern is also impossible

Not just that. Even though we don't get RTs, the SISs I used still work.
They can be proven using TH:

Code: Select all

+-------+-------+-------+
| . . . | . . . | . . . |
| .A23. | .123. | . . . |
| . .123| . .B23| . . . |
+-------+-------+-------+
|123. . |123. . | . . . |
| .B23. | . .A23| . . . |
| . .123| .123. | . . . |
+-------+-------+-------+
| . . . | . . . | . . . |
| . . . | . . . | . . . |
| . . . | . . . | . . . |
+-------+-------+-------+

TH without a rectangle line (r1c14), missing the candidates 1r25c2 1r35c6.
Suppose we have a solution of this pattern, with A and B being the colours of r25c2, in order.
Then also Ar5c6, Br3c6 as in the diagram.
A is eliminated from all cells seen by r1c4, we can set Ar1c4, analogically Br1c1.
The result is a 3-colouring of the TH 4-chromatic pattern => the initial pattern is contradictory.
Therefore each of the three digits must appear on the pattern in c26 and in c35 (by isomorphism).

Marek