The New Sudoku Players' Forum

[bl4ckh4wk]

Hi im looking for a sudoku bigger than 81X81. Im sure one was posted but i cant find it.

[dukuso]

you can easily create sudokus of any size -well, as long as you
can store them in a computer- by just taking the canonical
grid and deleting some numbers.
If you just delete numbers which are forced as singles,
you could delete quite a lot.
But generating minimal sudokus is a lot harder,
I would be interested, what the largest known minimal
sudoku is. We had some 25*25 in the programmers forum,
I never saw a 36*36.

[Pi]

what is a minimal sudoku?

[dukuso]

minimal, or also "locally minimal" means, that whenever
you remove one of the clues you get a puzzle with multiple
solutions, i.e. not a valid sudoku.

[r.e.s.]

you can easily create sudokus of any size -well, as long as you can store them in a computer- by just taking the canonical
grid and deleting some numbers.

I believe the formula you gave <here> has some typos in it (an extra parenthesis, and the j should be j-1?). In case anyone wants it, here's the general formula for the canonical grid (in Excel format), with boxes of size N*N:

= 1 + MOD(N*MOD(r-1,N) + INT((r-1)/N) + c-1, N*N)

where r,c is the row,column of the cell in which the formula is written. (This is for rows, columns, and "digits" from 1 to N*N.) For rows, columns, and "digits" from 0 to N*N-1, the formula would be simply

= MOD(N*MOD(r,N) + INT(r/N) + c, N*N)

(... that is, if I haven't made mistakes ). <This> is an Excel sheet containing the N=10 canonical grid with "digits" 1-100.

[dukuso]

it should also be possible to "multiply" two sudokugrids
(or even sudoku-puzzles ?) of size a*a and b*b
to get a new sudokugrid of size (a*b)*(a*b)

by the standard method to multiply latin squares.
But I think we have to transform the sudokus into
maps {1,2,..n}^6 --> {0,1} first.

it should work
can someone calculate the exact formula ? ;-)

[r.e.s.]

it should also be possible to "multiply" two sudokugrids
(or even sudoku-puzzles ?) of size a*a and b*b
to get a new sudokugrid of size (a*b)*(a*b)

I've seen various methods for generating a larger LS from two smaller ones, although I don't have the sources at hand just now; however, it isn't clear to me why you would expect the necessary "Sudoku boxes" property to be preserved by such a method.

[dukuso]

it works easily by using the 4dim representation of sudokus:

When A:{0,..,a-1}^4 --> {0,..a*a-1}
and B:{0,..,b-1}^4 --> {0,..,b*b-1}
are sudoku-grids of sizes a and b,
then C:{0,..,a*b-1)^4 --> {0,..,a*b*a*b-1}
defined by
C(x_*b+y_)=A(x_)*b*b+B(y_)
is a sudokugrid of size a*b


example:




00 01 02 03
03 02 00 01

02 03 01 00
01 00 03 02


*


03 05 07 08 02 00 04 01 06
06 04 00 05 01 03 07 02 08
02 08 01 04 06 07 03 05 00

00 02 03 06 04 05 01 08 07
01 07 08 03 00 02 05 06 04
05 06 04 01 07 08 02 00 03

07 03 05 00 08 01 06 04 02
04 00 02 07 05 06 08 03 01
08 01 06 02 03 04 00 07 05


=


03 05 07 12 14 16 08 02 00 17 11 09 04 01 06 13 10 15 21 23 25 30 32 34 26 20 18 35 29 27 22 19 24 31 28 33
06 04 00 15 13 09 05 01 03 14 10 12 07 02 08 16 11 17 24 22 18 33 31 27 23 19 21 32 28 30 25 20 26 34 29 35
02 08 01 11 17 10 04 06 07 13 15 16 03 05 00 12 14 09 20 26 19 29 35 28 22 24 25 31 33 34 21 23 18 30 32 27
30 32 34 21 23 25 35 29 27 26 20 18 31 28 33 22 19 24 03 05 07 12 14 16 08 02 00 17 11 09 04 01 06 13 10 15
33 31 27 24 22 18 32 28 30 23 19 21 34 29 35 25 20 26 06 04 00 15 13 09 05 01 03 14 10 12 07 02 08 16 11 17
29 35 28 20 26 19 31 33 34 22 24 25 30 32 27 21 23 18 02 08 01 11 17 10 04 06 07 13 15 16 03 05 00 12 14 09

00 02 03 09 11 12 06 04 05 15 13 14 01 08 07 10 17 16 18 20 21 27 29 30 24 22 23 33 31 32 19 26 25 28 35 34
01 07 08 10 16 17 03 00 02 12 09 11 05 06 04 14 15 13 19 25 26 28 34 35 21 18 20 30 27 29 23 24 22 32 33 31
05 06 04 14 15 13 01 07 08 10 16 17 02 00 03 11 09 12 23 24 22 32 33 31 19 25 26 28 34 35 20 18 21 29 27 30
27 29 30 18 20 21 33 31 32 24 22 23 28 35 34 19 26 25 00 02 03 09 11 12 06 04 05 15 13 14 01 08 07 10 17 16
28 34 35 19 25 26 30 27 29 21 18 20 32 33 31 23 24 22 01 07 08 10 16 17 03 00 02 12 09 11 05 06 04 14 15 13
32 33 31 23 24 22 28 34 35 19 25 26 29 27 30 20 18 21 05 06 04 14 15 13 01 07 08 10 16 17 02 00 03 11 09 12

07 03 05 16 12 14 00 08 01 09 17 10 06 04 02 15 13 11 25 21 23 34 30 32 18 26 19 27 35 28 24 22 20 33 31 29
04 00 02 13 09 11 07 05 06 16 14 15 08 03 01 17 12 10 22 18 20 31 27 29 25 23 24 34 32 33 26 21 19 35 30 28
08 01 06 17 10 15 02 03 04 11 12 13 00 07 05 09 16 14 26 19 24 35 28 33 20 21 22 29 30 31 18 25 23 27 34 32
34 30 32 25 21 23 27 35 28 18 26 19 33 31 29 24 22 20 07 03 05 16 12 14 00 08 01 09 17 10 06 04 02 15 13 11
31 27 29 22 18 20 34 32 33 25 23 24 35 30 28 26 21 19 04 00 02 13 09 11 07 05 06 16 14 15 08 03 01 17 12 10
35 28 33 26 19 24 29 30 31 20 21 22 27 34 32 18 25 23 08 01 06 17 10 15 02 03 04 11 12 13 00 07 05 09 16 14

21 23 25 30 32 34 26 20 18 35 29 27 22 19 24 31 28 33 12 14 16 03 05 07 17 11 09 08 02 00 13 10 15 04 01 06
24 22 18 33 31 27 23 19 21 32 28 30 25 20 26 34 29 35 15 13 09 06 04 00 14 10 12 05 01 03 16 11 17 07 02 08
20 26 19 29 35 28 22 24 25 31 33 34 21 23 18 30 32 27 11 17 10 02 08 01 13 15 16 04 06 07 12 14 09 03 05 00
12 14 16 03 05 07 17 11 09 08 02 00 13 10 15 04 01 06 30 32 34 21 23 25 35 29 27 26 20 18 31 28 33 22 19 24
15 13 09 06 04 00 14 10 12 05 01 03 16 11 17 07 02 08 33 31 27 24 22 18 32 28 30 23 19 21 34 29 35 25 20 26
11 17 10 02 08 01 13 15 16 04 06 07 12 14 09 03 05 00 29 35 28 20 26 19 31 33 34 22 24 25 30 32 27 21 23 18

18 20 21 27 29 30 24 22 23 33 31 32 19 26 25 28 35 34 09 11 12 00 02 03 15 13 14 06 04 05 10 17 16 01 08 07
19 25 26 28 34 35 21 18 20 30 27 29 23 24 22 32 33 31 10 16 17 01 07 08 12 09 11 03 00 02 14 15 13 05 06 04
23 24 22 32 33 31 19 25 26 28 34 35 20 18 21 29 27 30 14 15 13 05 06 04 10 16 17 01 07 08 11 09 12 02 00 03
09 11 12 00 02 03 15 13 14 06 04 05 10 17 16 01 08 07 27 29 30 18 20 21 33 31 32 24 22 23 28 35 34 19 26 25
10 16 17 01 07 08 12 09 11 03 00 02 14 15 13 05 06 04 28 34 35 19 25 26 30 27 29 21 18 20 32 33 31 23 24 22
14 15 13 05 06 04 10 16 17 01 07 08 11 09 12 02 00 03 32 33 31 23 24 22 28 34 35 19 25 26 29 27 30 20 18 21

25 21 23 34 30 32 18 26 19 27 35 28 24 22 20 33 31 29 16 12 14 07 03 05 09 17 10 00 08 01 15 13 11 06 04 02
22 18 20 31 27 29 25 23 24 34 32 33 26 21 19 35 30 28 13 09 11 04 00 02 16 14 15 07 05 06 17 12 10 08 03 01
26 19 24 35 28 33 20 21 22 29 30 31 18 25 23 27 34 32 17 10 15 08 01 06 11 12 13 02 03 04 09 16 14 00 07 05
16 12 14 07 03 05 09 17 10 00 08 01 15 13 11 06 04 02 34 30 32 25 21 23 27 35 28 18 26 19 33 31 29 24 22 20
13 09 11 04 00 02 16 14 15 07 05 06 17 12 10 08 03 01 31 27 29 22 18 20 34 32 33 25 23 24 35 30 28 26 21 19
17 10 15 08 01 06 11 12 13 02 03 04 09 16 14 00 07 05 35 28 33 26 19 24 29 30 31 20 21 22 27 34 32 18 25 23

[dukuso]

here is a 100*100 grid.
Now delete some clues to make a puzzle from it...





19 03 16 11 17 44 28 41 36 42 . 08 09 22 04 14 33 34 47 29 39 . 12 18 23 24 10 37 43 48 49 35 . 06 20 15 02 05 31 45 40 27 30 . 25 21 13 07 01 50 46 38 32 26 . 69 53 66 61 67 94 78 91 86 92 . 58 59 72 54 64 83 84 97 79 89 . 62 68 73 74 60 87 93 98 99 85 . 56 70 65 52 55 81 95 90 77 80 . 75 71 63 57 51 00 96 88 82 76 .
20 25 23 14 07 45 50 48 39 32 . 10 01 05 24 18 35 26 30 49 43 . 21 11 04 06 13 46 36 29 31 38 . 12 09 17 16 03 37 34 42 41 28 . 15 08 22 19 02 40 33 47 44 27 . 70 75 73 64 57 95 00 98 89 82 . 60 51 55 74 68 85 76 80 99 93 . 71 61 54 56 63 96 86 79 81 88 . 62 59 67 66 53 87 84 92 91 78 . 65 58 72 69 52 90 83 97 94 77 .
01 15 21 02 04 26 40 46 27 29 . 23 20 06 11 03 48 45 31 36 28 . 09 19 08 07 25 34 44 33 32 50 . 13 14 22 24 10 38 39 47 49 35 . 12 05 18 17 16 37 30 43 42 41 . 51 65 71 52 54 76 90 96 77 79 . 73 70 56 61 53 98 95 81 86 78 . 59 69 58 57 75 84 94 83 82 00 . 63 64 72 74 60 88 89 97 99 85 . 62 55 68 67 66 87 80 93 92 91 .
06 18 10 13 22 31 43 35 38 47 . 12 15 02 21 16 37 40 27 46 41 . 01 05 03 14 17 26 30 28 39 42 . 08 04 07 19 25 33 29 32 44 50 . 09 24 20 11 23 34 49 45 36 48 . 56 68 60 63 72 81 93 85 88 97 . 62 65 52 71 66 87 90 77 96 91 . 51 55 53 64 67 76 80 78 89 92 . 58 54 57 69 75 83 79 82 94 00 . 59 74 70 61 73 84 99 95 86 98 .
12 09 05 24 08 37 34 30 49 33 . 19 07 25 13 17 44 32 50 38 42 . 15 02 16 22 20 40 27 41 47 45 . 01 21 18 11 23 26 46 43 36 48 . 10 06 04 03 14 35 31 29 28 39 . 62 59 55 74 58 87 84 80 99 83 . 69 57 75 63 67 94 82 00 88 92 . 65 52 66 72 70 90 77 91 97 95 . 51 71 68 61 73 76 96 93 86 98 . 60 56 54 53 64 85 81 79 78 89 .
94 78 91 86 92 69 53 66 61 67 . 83 84 97 79 89 58 59 72 54 64 . 87 93 98 99 85 62 68 73 74 60 . 81 95 90 77 80 56 70 65 52 55 . 00 96 88 82 76 75 71 63 57 51 . 19 03 16 11 17 44 28 41 36 42 . 08 09 22 04 14 33 34 47 29 39 . 12 18 23 24 10 37 43 48 49 35 . 06 20 15 02 05 31 45 40 27 30 . 25 21 13 07 01 50 46 38 32 26 .
95 00 98 89 82 70 75 73 64 57 . 85 76 80 99 93 60 51 55 74 68 . 96 86 79 81 88 71 61 54 56 63 . 87 84 92 91 78 62 59 67 66 53 . 90 83 97 94 77 65 58 72 69 52 . 20 25 23 14 07 45 50 48 39 32 . 10 01 05 24 18 35 26 30 49 43 . 21 11 04 06 13 46 36 29 31 38 . 12 09 17 16 03 37 34 42 41 28 . 15 08 22 19 02 40 33 47 44 27 .
76 90 96 77 79 51 65 71 52 54 . 98 95 81 86 78 73 70 56 61 53 . 84 94 83 82 00 59 69 58 57 75 . 88 89 97 99 85 63 64 72 74 60 . 87 80 93 92 91 62 55 68 67 66 . 01 15 21 02 04 26 40 46 27 29 . 23 20 06 11 03 48 45 31 36 28 . 09 19 08 07 25 34 44 33 32 50 . 13 14 22 24 10 38 39 47 49 35 . 12 05 18 17 16 37 30 43 42 41 .
81 93 85 88 97 56 68 60 63 72 . 87 90 77 96 91 62 65 52 71 66 . 76 80 78 89 92 51 55 53 64 67 . 83 79 82 94 00 58 54 57 69 75 . 84 99 95 86 98 59 74 70 61 73 . 06 18 10 13 22 31 43 35 38 47 . 12 15 02 21 16 37 40 27 46 41 . 01 05 03 14 17 26 30 28 39 42 . 08 04 07 19 25 33 29 32 44 50 . 09 24 20 11 23 34 49 45 36 48 .
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41 48 33 35 26 16 23 08 10 01 . 46 28 44 50 38 21 03 19 25 13 . 29 47 45 30 37 04 22 20 05 12 . 39 27 31 40 32 14 02 06 15 07 . 49 34 42 43 36 24 09 17 18 11 . 91 98 83 85 76 66 73 58 60 51 . 96 78 94 00 88 71 53 69 75 63 . 79 97 95 80 87 54 72 70 55 62 . 89 77 81 90 82 64 52 56 65 57 . 99 84 92 93 86 74 59 67 68 61 .

53 72 59 75 64 78 97 84 00 89 . 57 62 67 51 61 82 87 92 76 86 . 69 58 68 73 55 94 83 93 98 80 . 71 63 74 70 56 96 88 99 95 81 . 54 52 65 66 60 79 77 90 91 85 . 28 47 34 50 39 03 22 09 25 14 . 32 37 42 26 36 07 12 17 01 11 . 44 33 43 48 30 19 08 18 23 05 . 46 38 49 45 31 21 13 24 20 06 . 29 27 40 41 35 04 02 15 16 10 .
61 63 65 55 69 86 88 90 80 94 . 53 64 74 68 59 78 89 99 93 84 . 66 54 60 70 71 91 79 85 95 96 . 67 72 73 62 52 92 97 98 87 77 . 51 75 57 58 56 76 00 82 83 81 . 36 38 40 30 44 11 13 15 05 19 . 28 39 49 43 34 03 14 24 18 09 . 41 29 35 45 46 16 04 10 20 21 . 42 47 48 37 27 17 22 23 12 02 . 26 50 32 33 31 01 25 07 08 06 .
57 71 51 68 62 82 96 76 93 87 . 56 58 54 73 65 81 83 79 98 90 . 72 67 59 61 52 97 92 84 86 77 . 75 60 69 55 66 00 85 94 80 91 . 53 70 74 64 63 78 95 99 89 88 . 32 46 26 43 37 07 21 01 18 12 . 31 33 29 48 40 06 08 04 23 15 . 47 42 34 36 27 22 17 09 11 02 . 50 35 44 30 41 25 10 19 05 16 . 28 45 49 39 38 03 20 24 14 13 .
58 66 74 73 60 83 91 99 98 85 . 75 55 71 70 52 00 80 96 95 77 . 53 63 65 51 56 78 88 90 76 81 . 61 57 64 59 54 86 82 89 84 79 . 67 69 62 72 68 92 94 87 97 93 . 33 41 49 48 35 08 16 24 23 10 . 50 30 46 45 27 25 05 21 20 02 . 28 38 40 26 31 03 13 15 01 06 . 36 32 39 34 29 11 07 14 09 04 . 42 44 37 47 43 17 19 12 22 18 .
52 54 67 56 70 77 79 92 81 95 . 63 72 60 66 69 88 97 85 91 94 . 75 64 74 62 57 00 89 99 87 82 . 53 68 51 58 65 78 93 76 83 90 . 61 73 71 55 59 86 98 96 80 84 . 27 29 42 31 45 02 04 17 06 20 . 38 47 35 41 44 13 22 10 16 19 . 50 39 49 37 32 25 14 24 12 07 . 28 43 26 33 40 03 18 01 08 15 . 36 48 46 30 34 11 23 21 05 09 .
28 47 34 50 39 03 22 09 25 14 . 32 37 42 26 36 07 12 17 01 11 . 44 33 43 48 30 19 08 18 23 05 . 46 38 49 45 31 21 13 24 20 06 . 29 27 40 41 35 04 02 15 16 10 . 78 97 84 00 89 53 72 59 75 64 . 82 87 92 76 86 57 62 67 51 61 . 94 83 93 98 80 69 58 68 73 55 . 96 88 99 95 81 71 63 74 70 56 . 79 77 90 91 85 54 52 65 66 60 .
36 38 40 30 44 11 13 15 05 19 . 28 39 49 43 34 03 14 24 18 09 . 41 29 35 45 46 16 04 10 20 21 . 42 47 48 37 27 17 22 23 12 02 . 26 50 32 33 31 01 25 07 08 06 . 86 88 90 80 94 61 63 65 55 69 . 78 89 99 93 84 53 64 74 68 59 . 91 79 85 95 96 66 54 60 70 71 . 92 97 98 87 77 67 72 73 62 52 . 76 00 82 83 81 51 75 57 58 56 .
32 46 26 43 37 07 21 01 18 12 . 31 33 29 48 40 06 08 04 23 15 . 47 42 34 36 27 22 17 09 11 02 . 50 35 44 30 41 25 10 19 05 16 . 28 45 49 39 38 03 20 24 14 13 . 82 96 76 93 87 57 71 51 68 62 . 81 83 79 98 90 56 58 54 73 65 . 97 92 84 86 77 72 67 59 61 52 . 00 85 94 80 91 75 60 69 55 66 . 78 95 99 89 88 53 70 74 64 63 .
33 41 49 48 35 08 16 24 23 10 . 50 30 46 45 27 25 05 21 20 02 . 28 38 40 26 31 03 13 15 01 06 . 36 32 39 34 29 11 07 14 09 04 . 42 44 37 47 43 17 19 12 22 18 . 83 91 99 98 85 58 66 74 73 60 . 00 80 96 95 77 75 55 71 70 52 . 78 88 90 76 81 53 63 65 51 56 . 86 82 89 84 79 61 57 64 59 54 . 92 94 87 97 93 67 69 62 72 68 .
27 29 42 31 45 02 04 17 06 20 . 38 47 35 41 44 13 22 10 16 19 . 50 39 49 37 32 25 14 24 12 07 . 28 43 26 33 40 03 18 01 08 15 . 36 48 46 30 34 11 23 21 05 09 . 77 79 92 81 95 52 54 67 56 70 . 88 97 85 91 94 63 72 60 66 69 . 00 89 99 87 82 75 64 74 62 57 . 78 93 76 83 90 53 68 51 58 65 . 86 98 96 80 84 61 73 71 55 59 .

64 61 75 53 65 89 86 00 78 90 . 55 56 57 59 62 80 81 82 84 87 . 68 66 71 69 73 93 91 96 94 98 . 70 74 58 67 63 95 99 83 92 88 . 72 60 52 51 54 97 85 77 76 79 . 39 36 50 28 40 14 11 25 03 15 . 30 31 32 34 37 05 06 07 09 12 . 43 41 46 44 48 18 16 21 19 23 . 45 49 33 42 38 20 24 08 17 13 . 47 35 27 26 29 22 10 02 01 04 .
59 57 70 71 63 84 82 95 96 88 . 64 69 68 52 74 89 94 93 77 99 . 60 65 55 67 54 85 90 80 92 79 . 72 73 53 51 62 97 98 78 76 87 . 58 61 66 56 75 83 86 91 81 00 . 34 32 45 46 38 09 07 20 21 13 . 39 44 43 27 49 14 19 18 02 24 . 35 40 30 42 29 10 15 05 17 04 . 47 48 28 26 37 22 23 03 01 12 . 33 36 41 31 50 08 11 16 06 25 .
74 55 69 66 52 99 80 94 91 77 . 61 73 51 67 72 86 98 76 92 97 . 58 75 62 53 59 83 00 87 78 84 . 60 56 54 57 71 85 81 79 82 96 . 68 65 64 63 70 93 90 89 88 95 . 49 30 44 41 27 24 05 19 16 02 . 36 48 26 42 47 11 23 01 17 22 . 33 50 37 28 34 08 25 12 03 09 . 35 31 29 32 46 10 06 04 07 21 . 43 40 39 38 45 18 15 14 13 20 .
67 58 54 72 56 92 83 79 97 81 . 65 63 70 60 71 90 88 95 85 96 . 61 74 51 52 64 86 99 76 77 89 . 68 69 66 75 59 93 94 91 00 84 . 55 62 53 73 57 80 87 78 98 82 . 42 33 29 47 31 17 08 04 22 06 . 40 38 45 35 46 15 13 20 10 21 . 36 49 26 27 39 11 24 01 02 14 . 43 44 41 50 34 18 19 16 25 09 . 30 37 28 48 32 05 12 03 23 07 .
68 60 62 51 73 93 85 87 76 98 . 54 66 53 58 75 79 91 78 83 00 . 70 56 57 63 72 95 81 82 88 97 . 65 55 52 64 61 90 80 77 89 86 . 71 67 69 59 74 96 92 94 84 99 . 43 35 37 26 48 18 10 12 01 23 . 29 41 28 33 50 04 16 03 08 25 . 45 31 32 38 47 20 06 07 13 22 . 40 30 27 39 36 15 05 02 14 11 . 46 42 44 34 49 21 17 19 09 24 .
39 36 50 28 40 14 11 25 03 15 . 30 31 32 34 37 05 06 07 09 12 . 43 41 46 44 48 18 16 21 19 23 . 45 49 33 42 38 20 24 08 17 13 . 47 35 27 26 29 22 10 02 01 04 . 89 86 00 78 90 64 61 75 53 65 . 80 81 82 84 87 55 56 57 59 62 . 93 91 96 94 98 68 66 71 69 73 . 95 99 83 92 88 70 74 58 67 63 . 97 85 77 76 79 72 60 52 51 54 .
34 32 45 46 38 09 07 20 21 13 . 39 44 43 27 49 14 19 18 02 24 . 35 40 30 42 29 10 15 05 17 04 . 47 48 28 26 37 22 23 03 01 12 . 33 36 41 31 50 08 11 16 06 25 . 84 82 95 96 88 59 57 70 71 63 . 89 94 93 77 99 64 69 68 52 74 . 85 90 80 92 79 60 65 55 67 54 . 97 98 78 76 87 72 73 53 51 62 . 83 86 91 81 00 58 61 66 56 75 .
49 30 44 41 27 24 05 19 16 02 . 36 48 26 42 47 11 23 01 17 22 . 33 50 37 28 34 08 25 12 03 09 . 35 31 29 32 46 10 06 04 07 21 . 43 40 39 38 45 18 15 14 13 20 . 99 80 94 91 77 74 55 69 66 52 . 86 98 76 92 97 61 73 51 67 72 . 83 00 87 78 84 58 75 62 53 59 . 85 81 79 82 96 60 56 54 57 71 . 93 90 89 88 95 68 65 64 63 70 .
42 33 29 47 31 17 08 04 22 06 . 40 38 45 35 46 15 13 20 10 21 . 36 49 26 27 39 11 24 01 02 14 . 43 44 41 50 34 18 19 16 25 09 . 30 37 28 48 32 05 12 03 23 07 . 92 83 79 97 81 67 58 54 72 56 . 90 88 95 85 96 65 63 70 60 71 . 86 99 76 77 89 61 74 51 52 64 . 93 94 91 00 84 68 69 66 75 59 . 80 87 78 98 82 55 62 53 73 57 .
43 35 37 26 48 18 10 12 01 23 . 29 41 28 33 50 04 16 03 08 25 . 45 31 32 38 47 20 06 07 13 22 . 40 30 27 39 36 15 05 02 14 11 . 46 42 44 34 49 21 17 19 09 24 . 93 85 87 76 98 68 60 62 51 73 . 79 91 78 83 00 54 66 53 58 75 . 95 81 82 88 97 70 56 57 63 72 . 90 80 77 89 86 65 55 52 64 61 . 96 92 94 84 99 71 67 69 59 74 .

[r.e.s.]

dukuso, would you please explain the 4-dim representation system you're using? (And what of the 6-dim one you first mentioned?) Maybe then I can relate your method to product definitions I've seen elsewhere, e.g., eqn.#26 in <this paper on LS/quasigroup generation>. (BTW, that paper seems to include some relevant Maple code in an appendix.)

[dukuso]

if A(1..n*n,1..n*n) is the normal 2dim representation, then
B(a,b,c,d)=A(a*n-n+b,c*n-n+d)
a,b,c,d in {1,2,..,n} is the associated 4dim representation.

see:
http://forum.enjoysudoku.com/viewtopic.php?t=2151

all their properties should be preserved by the 4dim
or 6dim multiplication.

BTW. in the paper, (don't want to read all of it)
is Jacobsen-Matthews not fast enough
or why do they use another method ?

[dukuso]

here is a puzzle over the canonical grid.
It's easy, only singles are required to solve it.
(if you can't guess the solution anyway...)

you can highlight the puzzle and copy it or save it directly
as text-file.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| .. .. 03 .. .. .. 07 08 .. 10 | .. 12 .. 14 15 16 .. .. .. .. | 21 22 23 24 .. 26 27 .. 29 .. | .. 32 .. .. 35 36 .. .. .. 40 | 41 42 .. 44 .. 46 .. 48 49 50 | .. 52 53 .. 55 .. .. 58 59 60 | 61 62 .. .. 65 66 67 68 69 .. | 71 72 73 74 .. .. .. 78 79 .. | 81 82 .. 84 85 .. 87 .. .. 90 | .. 92 93 94 .. .. 97 98 99 .. |
| 11 .. 13 .. 15 .. .. .. 19 20 | .. 22 .. 24 25 26 27 28 29 .. | 31 .. .. 34 35 .. 37 38 .. 40 | 41 .. 43 .. .. 46 .. .. 49 .. | 51 52 53 .. .. 56 .. 58 .. .. | 61 .. .. .. .. 66 67 68 69 .. | 71 72 73 .. .. 76 77 78 79 80 | 81 .. 83 84 .. .. 87 88 .. .. | .. 92 .. 94 .. 96 97 .. .. 00 | 01 02 03 .. 05 06 .. 08 .. 10 |
| 21 .. .. .. .. 26 .. 28 29 .. | 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 | 41 42 .. 44 45 .. 47 .. 49 .. | 51 52 .. 54 55 56 57 58 59 .. | 61 .. 63 .. 65 66 .. .. .. .. | .. .. 73 74 75 76 77 .. .. 80 | 81 82 83 .. 85 86 .. 88 89 90 | .. 92 .. .. .. 96 .. .. 99 00 | .. 02 .. 04 .. 06 .. 08 09 10 | 11 12 .. 14 15 16 17 .. .. 20 |
| .. 32 33 .. 35 .. 37 38 .. .. | 41 .. 43 .. 45 .. 47 .. 49 50 | .. 52 .. 54 .. .. 57 .. 59 .. | .. .. 63 64 65 66 .. 68 .. 70 | 71 72 .. .. 75 .. 77 78 79 80 | 81 .. .. 84 85 86 .. 88 .. 90 | 91 92 93 94 95 .. 97 98 99 .. | 01 .. 03 .. .. .. 07 .. .. .. | 11 .. .. .. .. 16 .. 18 .. .. | 21 .. 23 24 25 26 .. .. 29 30 |
| 41 42 43 .. .. 46 47 .. 49 50 | .. .. .. .. .. 56 .. .. 59 60 | 61 .. 63 .. 65 .. 67 68 .. 70 | .. 72 73 74 .. 76 77 78 .. 80 | 81 82 .. 84 .. 86 .. .. 89 90 | 91 .. 93 94 95 .. 97 .. 99 00 | 01 02 03 04 05 06 07 08 09 .. | 11 .. .. .. 15 .. .. .. .. .. | .. 22 .. .. 25 26 .. .. 29 .. | .. 32 33 .. .. .. 37 .. .. 40 |
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| 08 09 .. 11 12 13 14 15 .. 17 | 18 19 20 .. 22 .. .. 25 26 .. | .. .. 30 31 32 .. 34 35 .. .. | .. .. 40 41 42 43 44 45 .. 47 | 48 49 50 .. .. 53 54 .. .. .. | 58 59 60 .. 62 .. 64 65 66 .. | 68 .. 70 71 72 73 .. .. .. .. | .. 79 .. .. 82 .. .. 85 86 .. | 88 .. 90 .. .. 93 .. 95 .. .. | 98 .. .. 01 02 03 04 .. 06 07 |
| .. 19 .. 21 22 23 24 25 .. 27 | 28 29 30 31 32 33 34 35 .. 37 | 38 39 40 41 .. .. 44 45 46 47 | 48 .. 50 .. .. .. .. 55 .. .. | 58 59 .. .. 62 63 64 .. .. 67 | 68 69 70 71 72 .. .. 75 76 77 | 78 .. .. 81 .. 83 84 85 .. .. | 88 .. 90 .. .. 93 94 95 96 97 | 98 99 .. .. 02 03 .. 05 06 .. | .. 09 10 .. 12 13 .. 15 16 17 |
| 28 29 30 31 .. .. 34 .. 36 37 | 38 .. 40 41 42 .. .. .. 46 47 | .. .. 50 51 52 53 .. 55 56 57 | 58 .. .. 61 .. .. 64 .. 66 67 | .. 69 .. 71 .. 73 .. .. 76 .. | 78 79 80 81 .. .. .. 85 86 .. | 88 .. .. 91 92 93 94 95 96 97 | 98 .. 00 .. .. 03 .. .. .. 07 | .. 09 10 11 12 .. 14 15 16 .. | .. .. 20 21 22 23 24 25 .. 27 |
| .. .. .. .. .. .. 44 .. 46 47 | 48 49 50 .. 52 53 .. 55 .. .. | 58 .. .. 61 62 .. 64 .. 66 67 | 68 69 70 71 72 73 .. 75 .. .. | .. 79 80 81 82 .. 84 85 .. 87 | 88 89 90 91 .. .. 94 .. .. 97 | .. 99 00 01 02 03 .. 05 06 .. | 08 .. 10 .. 12 13 14 15 16 17 | .. .. .. .. 22 .. 24 25 .. 27 | 28 .. .. .. .. 33 34 .. 36 37 |
| 48 49 .. 51 52 53 .. .. 56 57 | 58 59 60 .. .. 63 64 65 66 .. | 68 69 .. 71 72 .. 74 .. .. 77 | 78 79 .. 81 .. 83 84 85 86 87 | 88 89 .. 91 .. 93 94 95 .. 97 | 98 99 .. 01 02 .. 04 05 .. 07 | 08 09 10 .. 12 13 .. .. 16 17 | .. 19 .. 21 22 23 .. 25 26 27 | .. .. .. .. 32 33 .. 35 36 .. | 38 39 40 41 42 .. .. 45 46 47 |
| .. 59 60 61 .. 63 .. 65 66 .. | .. .. 70 71 .. 73 74 75 76 77 | .. .. 80 81 82 83 .. .. 86 .. | 88 89 90 .. 92 93 .. .. .. 97 | 98 .. .. 01 02 .. .. 05 06 07 | 08 09 10 11 .. .. 14 15 16 17 | 18 19 20 .. .. 23 .. 25 .. 27 | 28 .. 30 .. 32 .. .. 35 .. 37 | 38 .. .. .. 42 .. 44 45 46 .. | 48 .. 50 51 .. 53 54 .. 56 57 |
| 68 .. .. 71 .. .. 74 75 .. 77 | 78 .. 80 81 82 .. 84 85 86 .. | .. 89 90 .. 92 93 94 .. 96 97 | .. 99 00 01 .. .. 04 05 .. .. | 08 .. .. 11 .. 13 14 15 16 .. | .. 19 20 21 22 23 .. 25 26 27 | 28 29 .. 31 32 .. 34 35 36 37 | .. 39 40 .. 42 43 44 45 46 47 | .. 49 50 51 .. 53 54 .. 56 57 | 58 59 60 .. .. .. 64 65 .. .. |
| 78 79 80 81 82 83 .. 85 86 .. | 88 89 90 91 92 .. 94 .. 96 97 | 98 .. 00 .. 02 03 04 05 .. 07 | 08 09 .. 11 12 .. 14 .. .. .. | 18 19 20 21 .. .. 24 25 .. .. | 28 .. 30 31 32 33 34 35 .. 37 | 38 39 40 41 .. 43 44 .. .. 47 | .. 49 .. 51 .. .. 54 55 .. 57 | .. 59 .. 61 62 63 .. .. 66 .. | 68 69 .. .. 72 .. .. 75 76 77 |
| .. .. .. .. .. 93 94 95 96 .. | 98 .. 00 .. 02 .. 04 .. .. 07 | 08 09 .. .. .. .. 14 15 16 .. | .. .. 20 .. 22 .. 24 25 26 .. | 28 29 .. 31 32 33 34 .. 36 37 | 38 39 .. .. 42 .. 44 .. .. .. | .. 49 50 51 .. .. .. 55 56 .. | 58 59 .. 61 .. 63 .. .. .. 67 | .. 69 70 .. 72 73 74 75 76 77 | 78 79 80 .. 82 83 84 .. .. 87 |
| .. 99 00 01 .. 03 04 05 06 07 | 08 .. .. 11 12 13 .. .. 16 17 | 18 19 20 .. .. 23 24 .. 26 27 | .. 29 30 31 32 33 .. .. 36 37 | .. 39 40 41 .. 43 44 .. 46 .. | 48 .. .. .. 52 53 54 .. 56 57 | .. 59 60 61 .. .. 64 65 .. .. | 68 69 .. 71 72 .. .. 75 76 77 | .. 79 .. .. 82 .. .. 85 .. 87 | .. 89 .. .. .. .. .. 95 96 .. |
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| .. 10 .. .. .. .. 15 .. 17 18 | .. 20 .. 22 23 24 25 26 .. 28 | 29 30 .. .. .. 34 35 36 .. 38 | .. 40 .. 42 43 .. 45 46 .. 48 | 49 .. .. 52 53 54 .. .. .. 58 | .. 60 61 62 63 .. 65 .. .. 68 | .. 70 71 72 73 .. .. 76 77 .. | .. 80 81 82 .. .. 85 86 87 .. | 89 .. 91 .. .. .. .. .. .. .. | .. .. .. .. 03 .. 05 06 07 .. |
| .. 20 21 22 23 24 25 .. 27 .. | .. .. .. .. 33 .. 35 36 .. .. | 39 40 .. 42 43 44 45 46 47 .. | .. 50 .. 52 53 54 55 56 .. .. | 59 60 61 62 63 64 65 66 .. 68 | 69 70 .. 72 .. .. 75 76 77 78 | .. 80 81 .. .. 84 .. .. .. .. | .. .. 91 92 93 94 95 96 97 98 | 99 .. .. .. 03 04 05 06 .. 08 | .. .. .. 12 13 .. .. .. 17 .. |
| 29 30 .. .. 33 .. 35 .. 37 38 | .. 40 .. 42 .. .. 45 46 .. 48 | 49 50 .. 52 53 54 55 56 .. 58 | 59 60 .. 62 63 64 65 .. 67 .. | .. 70 .. .. 73 .. 75 .. 77 78 | .. 80 81 82 83 84 85 .. 87 .. | 89 90 91 92 93 94 95 .. 97 .. | .. 00 .. 02 03 04 .. 06 .. .. | 09 10 11 12 .. 14 15 .. .. .. | 19 20 21 .. 23 .. 25 .. 27 28 |
| 39 .. 41 .. .. .. 45 46 47 48 | 49 .. 51 .. .. .. .. 56 .. 58 | .. 60 61 62 .. .. .. 66 67 .. | 69 70 .. 72 73 74 .. 76 .. 78 | .. .. 81 82 83 .. .. 86 .. .. | 89 90 91 92 .. .. 95 96 97 .. | .. 00 01 02 .. .. .. .. .. .. | 09 .. 11 12 13 .. 15 16 .. 18 | .. 20 21 .. 23 24 .. 26 .. 28 | 29 30 31 32 .. 34 .. 36 37 38 |
| 49 .. 51 .. .. 54 55 .. 57 .. | 59 .. 61 .. .. 64 65 66 .. 68 | 69 70 .. 72 73 .. 75 76 77 .. | 79 80 .. .. .. 84 85 86 87 88 | .. 90 91 .. 93 94 95 96 .. 98 | .. 00 .. 02 03 .. .. 06 07 08 | .. .. .. 12 .. 14 15 16 17 .. | 19 20 .. 22 .. 24 25 .. .. 28 | 29 .. .. 32 33 34 35 36 37 38 | 39 40 .. 42 43 .. .. 46 47 48 |
| 59 60 61 62 63 64 65 66 67 .. | .. 70 71 .. 73 74 .. .. 77 .. | 79 80 .. .. 83 84 85 86 87 .. | 89 90 91 92 93 .. 95 .. .. 98 | 99 00 .. 02 .. 04 05 .. .. 08 | .. 10 11 .. .. .. 15 16 .. 18 | 19 .. .. .. 23 24 25 26 27 28 | 29 30 .. 32 .. .. 35 36 37 38 | 39 .. 41 42 43 44 .. .. 47 48 | 49 .. 51 52 53 54 .. .. .. .. |
| 69 .. 71 72 .. 74 .. .. 77 .. | .. 80 81 .. 83 .. .. 86 .. 88 | .. .. .. .. 93 94 95 96 97 .. | .. .. 01 .. .. .. 05 06 .. .. | .. .. 11 12 13 14 .. .. 17 .. | 19 20 21 22 .. 24 .. .. .. .. | 29 .. 31 32 .. .. .. .. 37 .. | 39 .. .. 42 .. 44 45 .. 47 .. | 49 .. .. 52 .. .. .. 56 57 .. | .. 60 61 .. 63 .. 65 .. 67 68 |
| .. 80 .. 82 83 84 .. 86 87 88 | .. .. .. .. .. .. 95 96 .. .. | 99 00 01 02 .. 04 .. 06 07 .. | .. 10 11 12 13 14 15 16 .. 18 | .. 20 21 22 23 .. .. 26 27 28 | .. .. .. 32 33 34 .. .. .. .. | 39 40 41 .. 43 .. .. .. .. 48 | 49 .. .. 52 .. 54 .. 56 .. .. | 59 60 61 62 63 .. 65 .. 67 .. | 69 70 71 72 73 74 .. 76 77 .. |
| .. 90 91 92 93 94 95 .. .. 98 | .. .. .. .. 03 .. .. 06 .. .. | .. .. 11 12 .. 14 15 .. 17 18 | 19 .. 21 .. 23 24 25 26 27 28 | .. 30 .. 32 .. 34 35 .. .. 38 | 39 40 41 .. .. .. .. 46 47 48 | .. 50 51 .. 53 54 55 56 57 58 | 59 60 .. 62 .. 64 65 .. .. 68 | .. .. 71 .. .. 74 75 76 .. .. | .. .. 81 82 83 84 .. .. 87 88 |
| 99 .. 01 .. .. .. .. 06 .. .. | .. 10 11 12 13 .. 15 16 17 18 | 19 20 21 22 .. .. 25 26 .. .. | .. 30 31 .. 33 34 35 .. .. 38 | 39 40 .. .. 43 .. .. .. .. 48 | .. 50 .. 52 .. 54 .. 56 .. 58 | 59 .. .. .. 63 64 .. 66 67 68 | .. .. .. 72 73 74 .. 76 77 78 | 79 .. .. .. 83 .. 85 .. 87 88 | .. .. .. 92 93 94 .. 96 97 .. |
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| 10 .. 12 13 14 .. 16 17 18 19 | .. 21 .. 23 .. .. .. .. .. 29 | 30 31 32 33 .. .. .. 37 .. 39 | .. .. 42 .. 44 45 .. .. 48 49 | 50 51 52 53 54 .. .. .. .. 59 | 60 .. .. 63 .. 65 .. 67 .. .. | 70 71 72 73 74 75 76 77 .. .. | 80 81 82 83 84 85 86 87 .. 89 | .. .. .. .. .. .. 96 .. .. .. | 00 01 .. .. .. .. 06 .. .. 09 |
| .. .. 22 23 .. .. 26 27 .. .. | .. .. 32 .. 34 35 36 37 38 .. | .. 41 .. 43 .. 45 .. .. .. .. | .. .. .. .. 54 .. 56 .. .. 59 | 60 61 62 .. 64 .. 66 .. 68 69 | .. 71 .. 73 .. 75 .. 77 78 79 | 80 81 82 83 84 85 86 87 88 .. | 90 .. 92 .. .. 95 96 97 98 99 | .. .. 02 03 04 .. 06 07 .. 09 | 10 11 .. 13 14 15 .. .. .. 19 |
| .. .. 32 .. 34 35 36 .. 38 .. | 40 41 .. 43 .. 45 .. 47 .. .. | .. 51 .. .. .. .. .. 57 58 59 | 60 .. 62 63 .. 65 66 67 .. .. | 70 71 .. 73 .. 75 76 77 78 .. | 80 81 82 83 84 .. 86 .. 88 .. | 90 91 .. 93 94 .. 96 97 .. .. | 00 01 02 .. .. 05 06 .. 08 .. | 10 11 .. .. 14 15 16 .. .. 19 | 20 .. 22 23 .. 25 26 27 28 .. |
| 40 .. 42 .. .. 45 46 47 48 49 | 50 51 52 .. 54 .. 56 57 .. .. | .. .. 62 63 64 65 66 67 68 69 | 70 .. .. .. .. 75 76 .. .. 79 | 80 .. 82 .. 84 .. .. 87 88 89 | .. 91 92 .. 94 95 96 97 98 99 | 00 01 02 03 04 05 .. .. 08 .. | 10 11 .. 13 .. .. 16 .. .. 19 | .. 21 .. .. 24 25 26 27 28 29 | 30 31 32 33 .. .. 36 .. .. .. |
| 50 .. 52 .. .. 55 .. 57 58 59 | 60 61 62 .. .. .. 66 67 68 69 | .. 71 72 .. .. 75 76 77 78 .. | .. 81 82 83 .. 85 .. 87 88 89 | .. 91 92 93 .. 95 .. .. .. .. | 00 .. .. 03 04 .. 06 .. 08 09 | 10 .. 12 13 .. .. .. 17 .. .. | .. 21 .. 23 24 .. 26 .. 28 .. | 30 .. 32 .. 34 .. .. 37 38 .. | 40 41 42 43 .. .. 46 .. .. 49 |
| 60 61 .. 63 .. 65 .. .. .. .. | 70 71 .. 73 .. .. 76 77 .. .. | .. .. 82 .. .. 85 86 87 88 89 | 90 91 .. 93 94 .. 96 97 98 99 | 00 .. .. .. 04 05 06 07 08 09 | 10 11 12 .. 14 .. 16 17 18 .. | 20 .. 22 .. 24 25 .. 27 28 29 | .. 31 .. .. 34 .. 36 .. 38 39 | 40 41 42 43 44 45 46 .. 48 .. | .. 51 52 .. 54 55 56 57 .. 59 |
| 70 71 72 .. .. .. 76 77 .. 79 | .. .. 82 83 .. 85 86 87 88 89 | 90 91 92 .. 94 .. .. 97 .. .. | 00 01 02 03 04 .. 06 .. .. 09 | 10 11 12 13 14 15 .. 17 .. 19 | 20 .. .. 23 24 25 .. .. 28 29 | 30 .. .. 33 .. 35 .. .. 38 39 | .. 41 .. .. .. 45 46 47 48 .. | 50 .. .. .. 54 55 .. .. 58 59 | .. 61 62 .. 64 .. .. 67 68 69 |
| 80 .. 82 83 .. 85 86 87 .. .. | .. 91 .. .. 94 95 96 97 .. .. | 00 01 02 03 04 .. .. .. 08 09 | 10 11 .. 13 14 15 .. 17 18 19 | .. .. .. 23 24 25 26 27 .. 29 | 30 .. 32 33 34 35 36 37 38 39 | 40 .. 42 43 44 .. 46 .. 48 49 | 50 51 52 53 54 55 56 .. .. 59 | .. .. .. 63 .. .. .. 67 68 69 | .. .. .. .. 74 75 .. .. 78 79 |
| .. 91 92 93 94 95 96 .. .. 99 | .. 01 02 03 .. .. 06 .. 08 09 | 10 11 .. 13 14 15 .. .. 18 19 | .. .. 22 23 24 .. 26 .. 28 29 | .. .. .. .. .. 35 36 37 38 39 | .. .. .. 43 44 45 46 47 48 .. | .. 51 .. 53 54 .. .. .. 58 59 | 60 61 .. .. 64 65 66 .. .. 69 | 70 71 72 73 74 .. 76 77 78 79 | .. .. 82 83 84 85 .. .. .. 89 |
| .. 01 .. 03 04 05 06 07 08 09 | .. .. 12 .. 14 .. 16 17 .. 19 | 20 21 22 .. .. 25 .. .. .. 29 | 30 31 .. 33 34 .. 36 37 38 39 | .. .. 42 43 .. 45 .. 47 48 49 | .. 51 52 53 .. 55 56 57 58 59 | .. 61 62 .. 64 65 66 67 .. .. | .. .. 72 .. 74 .. .. 77 78 79 | .. 81 .. .. 84 85 .. 87 88 .. | 90 .. .. 93 94 95 96 .. 98 99 |
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

[dukuso]

and here is a 100*100 FN-minimal sudoku over the
4*25 multiplication grid above :





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| . . 17 . 18 . . . . 43 | . 10 . . . 34 . 48 . 40 | 13 19 . . 11 38 44 . 50 36 | 07 . . 03 . 32 46 . 28 . | 26 22 14 08 . 51 47 . 33 . | . 54 67 62 . . . . . . | 59 60 . 55 . 84 . 98 80 . | . . . 75 61 88 94 99 . . | 57 . . 53 . . 96 . 78 . | 76 . . 58 52 . 97 89 . . |
| . 26 . 15 08 . . . 40 . | 11 02 . . 19 36 27 . 50 44 | 22 12 05 07 14 47 37 . 32 39 | . . 18 . . . 35 43 42 . | 16 09 23 . 03 41 34 48 45 28 | . . 74 . 58 . . 99 90 83 | . 52 . 75 . . 77 81 00 . | 72 62 55 . . 97 . . 82 89 | . 60 . . 54 88 85 93 92 . | . . 73 70 53 91 84 98 95 78 |
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| 47 . 44 . 35 22 . 19 . 10 | 48 50 37 . . . . . 20 21 | 28 . . 30 . 03 11 26 . 17 | . 29 . . 40 . 04 . . . | 39 . 27 . . 14 08 02 16 13 | 97 93 . 84 85 72 . 69 . 60 | . 00 87 95 . 73 . . 70 71 | 78 86 . . . . . . . 67 | . 79 81 . . 74 . . . . | 89 . . . 88 64 . 52 . 63 |
| . 46 . . 51 . 21 07 08 . | . 44 40 . . . 19 15 . 05 | . 27 . 35 34 . . 14 . . | 28 38 47 . 43 03 . 22 . . | . 48 37 50 . 20 23 . 25 . | 81 96 . 83 01 . 71 57 58 76 | 92 . . 91 . . 69 . 66 55 | 99 . . 85 84 74 52 64 60 . | 78 88 97 . . . . 72 61 . | . 98 . . 79 . 73 62 75 54 |
| 39 . . 45 . . 13 12 . 25 | 28 . . . 32 03 . 24 . 07 | 43 . . 41 29 18 21 . 16 . | . . . 30 44 . 02 26 05 19 | 42 40 35 47 34 17 . 10 . 09 | . 88 87 95 00 64 . . 70 . | 78 86 99 81 82 . 61 . . 57 | 93 96 98 91 . 68 . . . 54 | 83 77 . 80 94 . 52 76 55 . | 92 . 85 . 84 67 . . 72 . |
| 36 27 28 30 42 11 02 . 05 . | 43 51 39 . . 18 . . 04 08 | 50 38 . . . 25 13 15 22 . | 45 . 35 . 34 20 . 10 23 09 | 49 . 32 46 . 24 19 07 21 06 | 86 . 78 80 . 61 . 53 . 67 | 93 . 89 79 83 68 76 64 . 58 | . 88 . 97 87 75 63 . 72 . | 95 91 85 . 84 . 66 60 . . | . 94 82 . 81 . 69 57 . 56 |
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| . 70 54 . . . 95 . . . | . 62 63 58 52 96 . 88 83 77 | . . . 59 69 82 99 . 84 94 | . . 64 72 . 00 93 89 97 98 | 65 . . 55 66 90 92 86 . . | 51 . 29 35 31 26 . 04 10 06 | 46 . . 33 27 21 12 13 08 02 | . 49 28 34 . . . 03 09 19 | 50 . . 47 . 25 . . 22 23 | . . 36 30 . 15 . 11 05 16 |
| . . 64 68 . 98 . 89 . . | 75 . 67 . . . 78 92 90 99 | 58 60 . 61 66 . 85 . . 91 | 55 . 63 . 70 80 84 88 79 95 | . . 56 76 . 96 . . 01 . | . 32 39 . 44 23 . 14 18 19 | 50 . 42 40 . 25 03 17 . 24 | 33 35 . 36 . . 10 . 11 16 | . 34 . 29 45 05 . . 04 20 | 46 27 . 51 47 . 02 . 26 . |
| 55 . 65 . 62 80 00 . . 87 | . 68 66 57 . 94 . . . 81 | 64 72 70 76 52 . 97 . 01 . | 60 67 61 . 71 85 . 86 . 96 | 58 . . . 73 83 . 84 78 98 | . 50 . 38 . 05 . 15 13 12 | 44 . 41 . 31 . 18 16 07 . | 39 47 45 51 27 14 22 . 26 02 | . 42 36 . 46 10 17 11 . 21 | 33 29 . 28 . . . 09 . 23 |
| . 53 . . 72 . . 83 . . | 60 . 59 . 61 . . . . 86 | . 54 . 67 75 . 79 93 92 . | . 76 . . . 81 01 . . 77 | 57 . . 63 . 82 89 99 88 95 | 41 . . 46 47 . 03 . 21 . | 35 . 34 . 36 10 . 09 . . | 40 29 43 . 50 15 04 . 17 . | . . . 44 27 . 26 . 19 . | 32 . . . . 07 14 24 13 . |
| . . 59 . 52 92 99 84 . . | . 54 70 . . 97 79 . . . | . 73 71 56 63 . 98 96 . . | 65 . . 66 . 90 78 82 91 83 | . 60 . . 62 00 . 93 94 . | 42 49 . . 27 17 . 09 11 02 | 47 29 45 51 . 22 . 20 26 14 | . 48 46 31 38 . . 21 06 13 | 40 . 32 . 33 . 03 . 16 . | 50 35 43 44 . . . 18 . 12 |
| 51 45 . . 31 26 20 . 10 06 | . . 38 33 . 21 . 13 08 02 | . 49 28 34 44 07 24 . 09 19 | 50 . 39 . 48 25 18 . . 23 | . 42 . 30 . . . 11 05 16 | 01 . 79 85 81 76 70 54 . . | . 87 . . 77 71 62 63 58 52 | . 99 78 . 94 57 74 . 59 . | 00 93 . 97 . 75 68 64 72 . | 90 92 86 80 . 65 67 . 55 66 |
| . 32 . 43 . 23 07 . 18 19 | 50 28 . . 49 . 03 17 15 . | 33 . 37 . . 08 10 12 . . | . . 38 29 45 05 09 13 04 20 | 46 . 31 51 . . . . 26 22 | 98 . 89 . . 73 57 64 68 69 | 00 . . 90 99 . . 67 . . | 83 . . 86 91 . 60 . 61 66 | 80 . . 79 . 55 59 63 . . | 96 77 81 01 . 71 . . 76 72 |
| 30 50 40 . 37 . . . 13 12 | . . . . . . . . 07 06 | . . 45 . . . . 20 . 02 | 35 42 . 49 46 10 17 . 24 . | 33 29 . 28 48 08 04 09 03 23 | 80 . 90 88 87 55 . 65 63 62 | 94 . . 82 81 69 68 . 57 56 | . 97 95 01 77 . . . 76 52 | . . 86 . 96 60 67 61 74 71 | 83 . 84 78 98 . 54 59 . . |
| . 28 . 46 47 16 . 08 . 22 | 35 . 34 48 36 10 05 09 . 11 | . . . 42 . 15 . 18 . 25 | 31 51 37 . 27 06 . 12 . 02 | 32 39 . 38 45 . . . 13 20 | . 78 83 96 97 66 53 58 . . | 85 80 84 98 86 . 55 . 73 61 | 90 . . . 00 65 54 68 . 75 | 81 01 . . . 56 76 62 . 52 | 82 . 99 . . 57 . 74 63 . |
| 42 . 34 36 27 17 24 . . . | 47 . . . . 22 04 20 . . | 30 48 . 31 38 05 23 21 06 . | . 28 32 41 . 15 . . 16 08 | . 35 43 44 37 . . . . 12 | 92 . 84 86 . . . . . . | . 79 95 . . 72 54 . 76 64 | 80 . 96 81 88 55 . 71 . . | . . . 91 83 65 . 57 . 58 | 00 85 . 94 . . 60 68 . 62 |
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| 54 . 60 76 65 . . . 01 90 | . 63 . 52 62 . . 93 77 87 | . 59 69 74 . 95 . 94 99 . | 72 64 75 71 57 97 89 00 96 . | . . . . 61 . . 91 92 86 | 29 . . . . . . . 26 15 | 33 . 43 . 37 . 13 18 . 12 | 45 34 . 49 . 20 09 19 24 . | . 39 . 46 32 22 . 25 . 07 | . 28 41 42 36 05 . . . . |
| 62 . . 56 70 87 89 91 81 95 | 54 65 . 69 60 79 . 00 . . | . 55 61 . 72 . 80 86 . . | 68 73 74 63 53 93 98 99 88 . | 52 76 58 59 57 77 01 . . . | 37 . 41 31 45 12 14 16 . . | 29 40 50 . 35 04 . . . 10 | . 30 36 . 47 17 05 11 . . | 43 48 49 38 . 18 . 24 . 03 | . 51 . 34 . . 26 08 . 07 |
| 58 . 52 69 . . 97 . 94 88 | 57 59 55 74 . 82 84 80 . 91 | 73 68 . . 53 . 93 . 87 78 | . 61 70 . 67 01 . 95 . 92 | . . 75 . 64 . 96 00 . . | 33 . 27 44 . 08 22 . 19 13 | . 34 30 . 41 . 09 05 . 16 | 48 . . 37 28 23 18 . 12 03 | 51 . 45 31 42 . 11 20 06 . | . . 50 40 39 . . 25 15 14 |
| 59 . 75 . 61 84 92 00 99 86 | 76 . . . 53 . 81 97 96 78 | . . 66 52 . . . 91 . 82 | . 58 . . 55 87 83 90 . 80 | . 70 . 73 69 . 95 88 98 . | . . 50 49 36 09 . 25 . 11 | . 31 47 . 28 26 . . 21 03 | 29 39 . . . 04 . . 02 . | . 33 40 35 30 12 08 15 10 05 | 43 . 38 . 44 . 20 . 23 . |
| . 55 68 . . 78 80 93 82 96 | 64 73 61 67 . . 98 . . 95 | . 65 75 . 58 01 . 00 . . | 54 . 52 . 66 . . . . . | 62 . 72 56 60 87 . 97 81 85 | 28 . 43 32 . 03 05 . . . | . 48 . 42 . . 23 . 17 20 | . 40 . . . 26 15 25 . . | 29 44 27 34 41 . 19 02 09 16 | 37 49 47 31 35 12 24 22 06 . |
| 29 . 35 . 40 04 . 10 . 15 | 33 . . . . 08 . 18 02 . | 45 . 44 49 31 . . . 24 06 | 47 39 50 . 32 . 14 . 21 07 | 30 . . . 36 05 . 16 17 11 | 79 98 85 01 . 54 73 60 . . | 83 . . . . 58 . 68 . 62 | . 84 . 99 . . . . 74 56 | . . 00 96 82 . 64 . 71 57 | . 78 91 92 . 55 53 . . 61 |
| 37 . 41 . 45 . 14 . . 20 | . 40 . 44 35 . 15 25 19 10 | . 30 36 . . 17 . 11 21 22 | 43 48 49 38 28 18 . 24 13 03 | 27 . 33 . 32 . . . . 07 | . 89 . 81 . 62 64 66 56 70 | 79 90 . 94 85 54 . . . . | 92 80 . . 97 . 55 . . . | . 98 . 88 78 68 73 . . 53 | . 01 . . 82 52 76 58 59 57 |
| 33 47 . . 38 08 22 . . 13 | 32 . 30 49 41 07 09 05 24 . | 48 43 . 37 . 23 . 10 . 03 | 51 . 45 . . . 11 20 06 17 | 29 46 . 40 39 04 21 . 15 14 | 83 . 77 . . 58 72 . 69 63 | . 84 80 . . . 59 . 74 . | . 93 85 87 78 . . 60 . 53 | 01 86 . 81 . . 61 . . 67 | 79 . 00 . 89 . 71 75 65 . |
| . 42 50 . . 09 17 . 24 . | 51 31 47 46 . . 06 . 21 03 | 29 39 . 27 32 04 . . 02 07 | 37 33 . . 30 12 08 15 10 . | 43 45 38 48 . 18 . . 23 19 | 84 92 00 99 86 59 67 75 74 61 | 01 81 . 96 78 76 . 72 71 . | . 89 91 77 82 54 . . . 57 | 87 83 . 85 80 62 . 65 . 55 | 93 95 88 . . 68 . 63 73 69 |
| 28 . 43 32 . 03 05 . . 21 | 39 . 36 . 45 . 23 . 17 20 | . 40 50 38 33 26 . . . 08 | 29 44 27 34 . 04 19 . . 16 | . . 47 31 . 12 . . 06 . | 78 80 93 82 96 . . 68 . 71 | 89 98 86 . 95 64 . . 67 70 | 01 . . 88 83 76 65 75 63 58 | 79 94 77 . . . . . . 66 | 87 99 97 81 . 62 . 72 . 60 |
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| . . . 54 66 90 87 01 79 . | 56 57 58 60 63 . 82 83 . 88 | . . . 70 . 94 92 97 . 99 | 71 . . 68 64 . . 84 . . | . . 53 . . 98 . 78 77 80 | . 37 51 . 41 15 . 26 04 16 | . 32 . 35 . 06 . 08 . 13 | . . . . . . 17 22 20 24 | 46 50 . 43 39 21 . . 18 14 | 48 . 28 . . 23 11 . 02 05 |
| 60 . . . . 85 . 96 . 89 | . . 69 . . 90 . 94 78 . | . 66 . 68 55 . . 81 93 . | . . 54 . 63 98 99 . . 88 | 59 62 67 57 76 84 . 92 82 01 | 35 33 46 . . 10 08 21 22 14 | 40 45 44 28 . . 20 19 . . | 36 . 31 43 30 . 16 . . . | . 49 29 . 38 23 24 . . 13 | . . . 32 . 09 . . . . |
| . . . 67 53 00 81 95 92 78 | 62 . 52 . 73 . 99 . . . | 59 76 63 54 60 . 01 . 79 . | 61 57 55 58 . 86 . . 83 97 | 69 . . . 71 94 . . 89 . | . . 45 42 . 25 . 20 17 03 | 37 49 . . . 12 24 02 18 23 | . . 38 . 35 09 26 13 04 . | 36 32 . . . 11 07 05 08 . | 44 41 40 39 46 19 16 . . 21 |
| 68 59 55 73 57 93 84 . . . | 66 64 . . 72 . 89 96 86 97 | 62 75 . 53 65 87 00 77 78 90 | 69 . 67 76 60 94 . 92 . 85 | . 63 . 74 58 81 88 . . 83 | 43 34 30 48 32 18 09 05 23 . | 41 39 . . 47 16 14 21 . 22 | . . 27 . . . . 02 03 15 | 44 45 42 . . 19 20 . . 10 | . 38 . . . 06 . 04 24 08 |
| 69 61 . 52 . . 86 88 77 . | . . 54 59 . 80 . 79 . . | . 57 . 64 73 96 82 83 . 98 | 66 . . 65 . . 81 78 90 . | 72 . 70 . 75 97 93 . . 00 | 44 36 38 27 49 19 . . 02 24 | 30 42 29 34 51 05 17 . 09 . | 46 32 . . . 21 . 08 14 23 | 41 31 28 . 37 . . 03 . 12 | 47 . . 35 . . 18 20 10 25 |
| . 37 51 29 41 15 12 . 04 16 | 31 . 33 35 . 06 . . 10 13 | . 42 . 45 49 19 . . 20 24 | . 50 34 43 39 21 25 09 . . | . . 28 . 30 23 11 . 02 . | . . 01 . 91 . . . 54 66 | 81 82 83 85 88 56 57 . . . | 94 . . . . 69 67 72 70 74 | 96 . 84 . . 71 75 59 68 . | . 86 . 77 . . . 53 52 55 |
| 35 33 46 47 . 10 . . 22 . | 40 45 . . 50 15 . . 03 25 | . 41 31 . 30 . 16 . . 05 | 48 49 . 27 . 23 24 04 02 13 | 34 37 42 32 51 09 . 17 . . | 85 83 . 97 89 60 . . . 64 | 90 . . 78 00 . . 69 . . | 86 . 81 . . . . 56 68 . | 98 . 79 77 . . 74 54 52 63 | 84 87 92 . 01 . 62 . . . |
| 50 31 45 42 . 25 . 20 17 03 | 37 49 27 43 48 12 . 02 18 . | 34 51 . 29 35 09 . 13 . 10 | 36 . 30 . 47 11 . . 08 . | . . 40 39 . 19 . 15 . . | . . 95 . . 75 56 70 67 . | . . 77 93 98 . 74 . 68 73 | 84 01 88 79 . 59 . 63 54 60 | 86 82 80 83 97 . 57 . . . | 94 91 . . . . . 65 64 71 |
| 43 . 30 48 . 18 . 05 23 07 | 41 39 . . 47 16 14 . 11 22 | . 50 . 28 40 12 25 02 03 . | . . . 51 . 19 . . . 10 | 31 38 . 49 33 06 13 04 . . | 93 84 80 . 82 68 59 55 . . | 91 89 96 . 97 . 64 71 61 . | 87 00 77 78 90 . . 52 53 65 | 94 95 . 01 85 . . 67 76 . | 81 88 79 . . . . . . . |
| 44 . . . . . . 13 02 . | 30 42 29 34 51 05 17 . . 26 | 46 32 . . 48 21 07 08 14 . | 41 31 . 40 37 . . . . . | 47 43 45 . . 22 18 . 10 25 | 94 . . 77 99 69 61 63 52 74 | . 92 . . 01 55 67 54 . . | 96 . 83 . 98 . 57 . 64 73 | 91 . . . 87 66 56 53 . 62 | . 93 . 85 00 72 . . . 75 |
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

[r.e.s.]

When A:{0,..,a-1}^4 --> {0,..a*a-1}
and B:{0,..,b-1}^4 --> {0,..,b*b-1}
are sudoku-grids of sizes a and b,
then C:{0,..,a*b-1) --> {0,..,a*b*a*b-1}
defined by
C(x_*b+y_)=A(x_)*b*b+B(y_)
is a sudokugrid of size a*b

[... and later ...]

if A(1..n*n,1..n*n) is the normal 2dim representation, then
B(a,b,c,d)=A(a*n-n+b,c*n-n+d)
a,b,c,d in {1,2,..,n} is the associated 4dim representation.

I hope you'll bear with me, because I'd really like to understand this ...

Shouldn't it be C:{0,..,a*b-1)^4 --> {0,..,a*b*a*b-1} ? I'm uncertain about the intended dimensions of x_ and y_, and about where/how the modulo operations are incorporated in C(x_*b+y_)=A(x_)*b*b+B(y_).

In 2-dim form, I would have expected something like eqn#26 in the referenced paper, defining C = A*B according to
C(x,y) = n2 * A(int(x/n2), int(y/n2)) + B(x mod n2, y mod n2)
with
A:{0..n1-1}^2 -> {0..n1-1}
B:{0..n2-1}^2 -> {0..n2-1}
C:{0..n1*n2-1}^2 -> {0..n1*n2-1}.

I would like to understand how these two versions are related, as the 2-dim version seems not to preserve sudoku properties.

BTW. in the paper, (don't want to read all of it)
is Jacobsen-Matthews not fast enough
or why do they use another method ?

I'm not qualified to say. I posted that link mainly because imo it has a very nice & brief presentation of what I thought was the more-or-less "standard" product definition. (The main point is eqn#26, which I figured you'd recognise without having to read much else.)

One more question ... Can a product of valid Sudoku puzzles be defined in such a way that the product is a valid puzzle?

[dukuso]

When A:{0,..,a-1}^4 --> {0,..a*a-1}
and B:{0,..,b-1}^4 --> {0,..,b*b-1}
are sudoku-grids of sizes a and b,
then C:{0,..,a*b-1) --> {0,..,a*b*a*b-1}
defined by
C(x_*b+y_)=A(x_)*b*b+B(y_)
is a sudokugrid of size a*b

[... and later ...]

if A(1..n*n,1..n*n) is the normal 2dim representation, then
B(a,b,c,d)=A(a*n-n+b,c*n-n+d)
a,b,c,d in {1,2,..,n} is the associated 4dim representation.

I hope you'll bear with me, because I'd really like to understand this ...

Shouldn't it be C:{0,..,a*b-1)^4 --> {0,..,a*b*a*b-1} ? I'm uncertain about the intended dimensions of x_ and y_, and about where/how the modulo operations are incorporated in C(x_*b+y_)=A(x_)*b*b+B(y_).

yes, sorry. I forgot the "^4" there. x_,y_ are 4-dim-vectors.
I edited it now.
No modulo is needed, that's the purpose of the 4-dim representation.

In 2-dim form, I would have expected something like eqn#26 in the referenced paper, defining C = A*B according to
C(x,y) = n2 * A(int(x/n2), int(y/n2)) + B(x mod n2, y mod n2)
with
A:{0..n1-1}^2 -> {0..n1-1}
B:{0..n2-1}^2 -> {0..n2-1}
C:{0..n1*n2-1}^2 -> {0..n1*n2-1}.

you can certainly also just do it in 2dim , but 4dim is somehow
more enlightening IMO when you compare latin-squares, sudokus,
3dokus,etc. and it's easier to see how the properties
go from the factors into the product.
Note, that your n1,n2 would be my a*a and b*b, so it
is only for latin squares of square-order.

I would like to understand how these two versions are related, as the 2-dim version seems not to preserve sudoku properties.

BTW. in the paper, (don't want to read all of it)
is Jacobsen-Matthews not fast enough
or why do they use another method ?

I'm not qualified to say. I posted that link mainly because imo it has a very nice & brief presentation of what I thought was the more-or-less "standard" product definition. (The main point is eqn#26, which I figured you'd recognise without having to read much else.)

One more question ... Can a product of valid Sudoku puzzles be defined in such a way that the product is a valid puzzle?

I had first thought, it might, but now it seems to me that this
is not possible. Of course, you can have one factor just
as a puzzle in the product, while all other regions are full.


Here is the BASIC-program I used for the 36*36 example:


the important lines are:

50 FOR I1=0 TO A:FOR I2=0 TO A:FOR J1=0 TO A:FOR J2=0 TO A
60 FOR U1=0 TO B:FOR U2=0 TO B:FOR V1=0 TO B:FOR V2=0 TO B
70 X1=I1*M+U1:X2=I2*M+U2:Y1=J1*M+V1:Y2=J2*M+V2
80 Z(X1,X2,Y1,Y2)=X(I1,I2,J1,J2)*M*M+Y(U1,U2,V1,V2)
90 NEXT V2,V1,U2,U1,J2,J1,I2,I1

which define Z() as X()*Y()
{well, I should have taken i1,i2,i3,i4 and j1,j2,j3,j4 istead of i,j,u,v,x,y}
So this is in principle the same method as with products of quasigroups,
but now for "quaternary" quasigroups.
The "alldifferent" properties are prolonged from the factors
to the product.


10 DEFINT A-Z:N=2:M=3:A=N-1:B=M-1:AB=N*M-1:DIM X(A,A,A,A),Y(B,B,B,B),Z(AB,AB,AB,AB),R(N*M*N*M,N*M*N*M),U(N*M*N*M)
20 A$="1234431234212143"
23 B$="468931527751624839392578461134756298289413675675289314846192753513867942927345186"
30 Z=0:FOR I1=0 TO A:FOR I2=0 TO A:FOR J1=0 TO A:FOR J2=0 TO A:Z=Z+1:X(I1,I2,J1,J2)=VAL(MID$(A$,Z,1))-1:NEXT J2,J1,I2,I1
40 Z=0:FOR I1=0 TO B:FOR I2=0 TO B:FOR J1=0 TO B:FOR J2=0 TO B:Z=Z+1:Y(I1,I2,J1,J2)=VAL(MID$(B$,Z,1))-1:NEXT J2,J1,I2,I1
45 ' -.--------------------------
50 FOR I1=0 TO A:FOR I2=0 TO A:FOR J1=0 TO A:FOR J2=0 TO A
60 FOR U1=0 TO B:FOR U2=0 TO B:FOR V1=0 TO B:FOR V2=0 TO B
70 X1=I1*M+U1:X2=I2*M+U2:Y1=J1*M+V1:Y2=J2*M+V2
80 Z(X1,X2,Y1,Y2)=X(I1,I2,J1,J2)*M*M+Y(U1,U2,V1,V2)
90 NEXT V2,V1,U2,U1,J2,J1,I2,I1
100 FOR I1=0 TO N*M-1:FOR I2=0 TO N*M-1:FOR J1=0 TO N*M-1:FOR J2=0 TO N*M-1
110 X=I1*N*M+I2:Y=J1*N*M+J2:R(X,Y)=Z(I1,I2,J1,J2)
120 NEXT J2,J1,I2,I1
130 OPEN "o",3,"ll"
131 FOR I1=0 TO A:FOR I2=0 TO A:FOR J1=0 TO A:FOR J2=0 TO A
132 PRINT#3, RIGHT$(STR$(100+X(I1,I2,J1,J2)),2);" ";
133 NEXT J2:PRINT#3," ";:NEXT J1:PRINT#3,"":NEXT I2:PRINT#3,"":NEXT I1:PRINT#3,"":PRINT#3,"":PRINT#3,"*":PRINT#3,"":PRINT#3,""
134 FOR I1=0 TO B:FOR I2=0 TO B:FOR J1=0 TO B:FOR J2=0 TO B
135 PRINT#3, RIGHT$(STR$(100+Y(I1,I2,J1,J2)),2);" ";
136 NEXT J2:PRINT#3," ";:NEXT J1:PRINT#3,"":NEXT I2:PRINT#3,"":NEXT I1:PRINT#3,"":PRINT#3,"":PRINT#3,"=":PRINT#3,"":PRINT#3,""
140 FOR I1=0 TO N*M-1:FOR I2=0 TO N*M-1:FOR J1=0 TO N*M-1:FOR J2=0 TO N*M-1
150 PRINT#3, RIGHT$(STR$(100+Z(I1,I2,J1,J2)),2);" ";
180 NEXT J2:PRINT#3," ";:NEXT J1:PRINT#3,"":NEXT I2:PRINT#3,"":NEXT I1
190 CLOSE
250 ' --------------testing--------------------
260 R=N*M*N*M-1
270 FOR I=0 TO R:FOR J=0 TO R:U(J)=0:NEXT:FOR J=0 TO R:U(R(I,J))=1:NEXT:Q=0:FOR J=0 TO R:Q=Q+U(J):NEXT:IF Q<>R+1 THEN STOP
280 NEXT I
290 FOR J=0 TO R:FOR I=0 TO R:U(I)=0:NEXT:FOR I=0 TO R:U(R(I,J))=1:NEXT:Q=0:FOR I=0 TO R:Q=Q+U(I):NEXT:IF Q<>R+1 THEN STOP
300 NEXT J
310 FOR I=0 TO N*M-1:FOR J=0 TO N*M-1:FOR X=0 TO R:U(X)=0:NEXT:FOR X=0 TO AB:FOR Y=0 TO AB:F=I*N*M+X:G=J*N*M+Y:U(R(F,G))=1:NEXT Y,X:Q=0:FOR X=0 TO R:Q=Q+U(X):NEXT:IF Q<>R+1 THEN STOP
320 NEXT J,I